Dalam aljabar, ada beberapa aturan yang dapat digunakan untuk pemahaman lebih lanjut tentang persamaan. Ini disebut aturan aljabar. Meskipun aturan-aturan ini mungkin tampak tidak masuk akal atau jelas, adalah bijaksana untuk memahami bahwa sifat-sifat ini tidak berlaku di semua cabang matematika. Oleh karena itu, akan berguna untuk mengetahui bagaimana aturan aksiomatik ini dinyatakan, sebelum menerima begitu saja. Sebelum melanjutkan ke aturan-aturannya, renungkanlah dua definisi yang akan diberikan.
- Opposite - kebalikan dari {\displaystyle a}
adalah - a {\displaystyle -a}
. - Reciprocal - reciprocal dari {\displaystyle a} adalah 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}}
.
Aturan
Sifat komutatif dari penjumlahan
'Komutatif' berarti bahwa suatu fungsi memiliki hasil yang sama jika angka-angkanya ditukar. Dengan kata lain, urutan suku-suku dalam persamaan tidak menjadi masalah. Ketika operator dari dua suku adalah penjumlahan, 'sifat komutatif penjumlahan' berlaku. Dalam istilah aljabar, ini memberikan a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a}
.
Perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk pengurangan! (yaitu, a - b ≠ b - a {\displaystyle a-b\neq b-a}
)
Sifat komutatif dari perkalian
Ketika operator dari dua suku adalah perkalian, 'sifat komutatif perkalian' berlaku. Dalam istilah aljabar, ini memberikan a ⋅ b = b ⋅ a {\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
.
Perhatikan bahwa ini tidak berlaku untuk pembagian! (yaitu, a b ≠ b a {\displaystyle {\frac {a}{b}}}\neq {\frac {b}{{a}}}}) 
, ketika a ≠ b {\displaystyle a\neq b}
)
Sifat asosiatif dari penjumlahan
'Asosiatif' mengacu pada pengelompokan angka. Sifat asosiatif dari penjumlahan menyiratkan bahwa, ketika menambahkan tiga suku atau lebih, tidak masalah bagaimana suku-suku ini dikelompokkan. Secara aljabar, hal ini memberikan a + ( b + c ) = ( a + b ) + c {\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}
. Perhatikan bahwa hal ini tidak berlaku untuk pengurangan, misalnya 1 = 0 - ( 0 - 1 ) ≠ ( 0 - 0 ) - 1 = - 1 {\displaystyle 1 = 0 - ( 0 - 1 ) = (0 - 1 )\neq (0 - 0 )-1 = - 1}
(lihat properti distributif).
Sifat asosiatif perkalian
Sifat asosiatif perkalian menyiratkan bahwa, ketika mengalikan tiga suku atau lebih, tidak masalah bagaimana suku-suku ini dikelompokkan. Secara aljabar, ini memberikan a ⋅ ( b ⋅ c ) = ( a ⋅ b ) ⋅ c {\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}
. Perhatikan bahwa hal ini tidak berlaku untuk pembagian, misalnya 2 = 1 / ( 1 / 2 ) ≠ ( 1 / 1 ) / 2 = 1 / 2 {\displaystyle 2 = 1 / ( 1/2 ) \neq (1 / 1 ) / 2 = 1 / 2}
.
Properti distributif
Sifat distributif menyatakan bahwa perkalian suatu bilangan dengan suku lain dapat didistribusikan. Sebagai contoh: a ⋅ ( b + c ) = a b + a c {\displaystyle a\cdot (b+c)=ab+ac}
. (Jangan bingung dengan sifat asosiatif! Misalnya, a ⋅ ( b + c ) ≠ ( a ⋅ b ) + c {\displaystyle a\cdot (b+c)\neq (a\cdot b)+c}
.)
Properti identitas aditif
'Identitas' mengacu pada sifat suatu bilangan yang sama dengan dirinya sendiri. Dengan kata lain, ada operasi dua bilangan sehingga sama dengan variabel dari jumlah tersebut. Sifat identitas aditif menyatakan bahwa jumlah dari sembarang bilangan dan 0 adalah bilangan itu: a + 0 = a {\displaystyle a+0=a}
. Ini juga berlaku untuk pengurangan: a - 0 = a {\displaystyle a-0=a}
.
Properti identitas multiplikatif
Sifat identitas multiplikatif menyatakan bahwa hasil perkalian bilangan apapun dan 1 adalah bilangan itu: a ⋅ 1 = a {\displaystyle a\cdot 1=a}
. Ini juga berlaku untuk pembagian: a 1 = a {\displaystyle {\frac {a}{1}}=a}
.
Properti inversi aditif
Sifat invers aditif agak mirip dengan kebalikan dari sifat identitas aditif. Ketika suatu operasi adalah jumlah dari suatu bilangan dan kebalikannya, dan itu sama dengan 0, operasi itu adalah operasi aljabar yang valid. Secara aljabar, dinyatakan sebagai berikut: a - a = 0 {\displaystyle a-a=0}
. Invers aditif dari 1 adalah (-1).
Properti invers multiplikatif
Sifat invers multiplikatif mensyaratkan bahwa ketika suatu operasi adalah hasil kali dari suatu bilangan dan kebalikannya, dan itu sama dengan 1, operasi itu adalah operasi aljabar yang valid. Secara aljabar, sifat ini menyatakan sebagai berikut: a a = 1 {\displaystyle {\frac {a}{a}}}=1}
. Invers multiplikatif dari 2 adalah 1/2.
