Nomor

Metode penomoran

Angka untuk orang

Ada berbagai cara untuk memberikan simbol pada angka. Cara-cara ini disebut sistem bilangan. Sistem bilangan yang paling umum digunakan orang adalah sistem bilangan basis sepuluh. Sistem bilangan basis sepuluh juga disebut sistem bilangan desimal. Sistem bilangan basis sepuluh umum digunakan karena orang memiliki sepuluh jari tangan dan sepuluh jari kaki. Ada 10 simbol berbeda {0, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9} yang digunakan dalam sistem bilangan basis sepuluh. Sepuluh simbol ini disebut digit.

Simbol untuk sebuah angka terdiri dari sepuluh digit ini. Posisi digit menunjukkan seberapa besar angka tersebut. Misalnya, angka 23 dalam sistem bilangan desimal sebenarnya berarti (2 kali 10) ditambah 3, dan 101 berarti 1 kali seratus (=100) ditambah 0 kali 10 (=0) ditambah 1 kali 1 (=1).

Angka untuk mesin

Sistem bilangan lain lebih umum untuk mesin. Sistem bilangan mesin disebut sistem bilangan biner. Sistem bilangan biner juga disebut sistem bilangan basis dua. Ada dua simbol berbeda (0 dan 1) yang digunakan dalam sistem bilangan basis dua. Kedua simbol ini disebut bit.

Simbol untuk bilangan biner terdiri dari dua simbol bit ini. Posisi simbol bit menunjukkan seberapa besar angka tersebut. Misalnya, angka 10 dalam sistem bilangan biner sebenarnya berarti 1 kali 2 ditambah 0, dan 101 berarti 1 kali empat (=4) ditambah 0 kali dua (=0) ditambah 1 kali 1 (=1). Bilangan biner 10 sama dengan bilangan desimal 2. Bilangan biner 101 sama dengan bilangan desimal 5.

Nama-nama angka

Bahasa Inggris memiliki nama-nama khusus untuk beberapa angka dalam sistem bilangan desimal yang merupakan "pangkat sepuluh". Semua bilangan pangkat sepuluh dalam sistem bilangan desimal ini hanya menggunakan simbol "1" dan simbol "0". Misalnya, sepuluh puluhan sama dengan sepuluh kali sepuluh, atau seratus. Dalam simbol, ini adalah "10 × 10 = 100". Juga, sepuluh ratusan sama dengan sepuluh kali seratus, atau seribu. Dalam simbol, ini adalah "10 × 100 = 10 × 10 × 10 = 1000". Beberapa bilangan pangkat sepuluh lainnya juga memiliki nama khusus:

• 1 - satu
• 10 - sepuluh
• 100 - seratus
• 1000 - seribu
• 1.000.000 - satu juta

Ketika berurusan dengan angka yang lebih besar dari ini, ada dua cara berbeda untuk menamai angka-angka dalam bahasa Inggris. Di bawah "skala panjang", nama baru diberikan setiap kali angka tersebut satu juta kali lebih besar dari angka yang terakhir dinamai. Ini juga disebut "Standar Inggris". Skala ini dulunya umum digunakan di Inggris tetapi tidak sering digunakan di negara-negara berbahasa Inggris saat ini. Skala ini masih digunakan di beberapa negara Eropa lainnya. Skala lainnya adalah "skala pendek" di mana nama baru diberikan setiap kali angka seribu kali lebih besar dari angka yang disebut terakhir. Skala ini jauh lebih umum di sebagian besar negara berbahasa Inggris saat ini.

• 1.000.000.000 - satu miliar (skala pendek), satu miliard (skala panjang)
• 1.000.000.000.000.000 - satu triliun (skala pendek), satu miliar (skala panjang)
• 1.000.000.000.000.000.000 - satu kuadriliun (skala pendek), satu biliar (skala panjang)

Jenis-jenis angka

Angka alami

Bilangan asli adalah angka-angka yang biasanya kita gunakan untuk menghitung, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, dsb. Beberapa orang mengatakan bahwa 0 juga merupakan bilangan asli.

Nama lain untuk angka-angka ini adalah angka positif. Bilangan-bilangan ini kadang-kadang ditulis sebagai +1 untuk menunjukkan bahwa bilangan-bilangan ini berbeda dari bilangan negatif. Tetapi tidak semua bilangan positif adalah natural (misalnya 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{{2}}} adalah positif, tetapi tidak natural).

Jika 0 disebut bilangan asli, maka bilangan asli sama dengan bilangan cacah. Jika 0 tidak disebut bilangan asli, maka bilangan asli sama dengan bilangan cacah. Jadi jika kata "bilangan asli" tidak digunakan, maka akan ada sedikit kebingungan tentang apakah nol termasuk atau tidak. Namun sayangnya, ada yang mengatakan bahwa nol juga bukan bilangan bulat, dan ada juga yang mengatakan bilangan bulat bisa negatif. "Bilangan bulat positif" dan "bilangan bulat non-negatif" adalah cara lain untuk memasukkan nol atau mengecualikan nol, tetapi hanya jika orang tahu kata-kata itu.

Angka negatif

Bilangan negatif adalah bilangan yang kurang dari nol.

Salah satu cara untuk memikirkan bilangan negatif adalah dengan menggunakan garis bilangan. Kita sebut satu titik pada garis ini nol. Kemudian kita akan melabeli (menulis nama) setiap posisi pada garis dengan seberapa jauh ke kanan dari titik nol itu, misalnya titik satu adalah satu sentimeter ke kanan, titik dua adalah dua sentimeter ke kanan.

Sekarang pikirkan tentang sebuah titik yang berada satu sentimeter di sebelah kiri titik nol. Kita tidak bisa menyebut titik ini satu, karena sudah ada titik yang disebut satu. Oleh karena itu, kita sebut titik ini minus 1 (-1) (karena jaraknya satu sentimeter, tetapi dalam arah yang berlawanan).

Gambar garis bilangan ada di bawah ini.

Semua operasi normal matematika dapat dilakukan dengan bilangan negatif:

Jika orang menambahkan bilangan negatif ke bilangan lain, ini sama dengan menghilangkan bilangan positif dengan angka yang sama. Misalnya, 5 + (-3) sama dengan 5 - 3, dan sama dengan 2.

Jika mereka mengambil angka negatif dari yang lain, ini sama dengan menambahkan angka positif dengan angka yang sama. Misalnya, 5 - (-3) sama dengan 5 + 3, dan sama dengan 8.

Jika mereka mengalikan dua bilangan negatif bersama-sama, mereka mendapatkan bilangan positif. Misalnya, -5 dikalikan -3 adalah 15.

Jika mereka mengalikan angka negatif dengan angka positif, atau mengalikan angka positif dengan angka negatif, mereka mendapatkan hasil negatif. Contohnya, 5 dikalikan -3 adalah -15.

Karena mencari akar kuadrat dari bilangan negatif adalah mustahil karena negatif kali negatif sama dengan possitve. Kita simbolkan akar kuadrat dari bilangan negatif sebagai i.

Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah semua bilangan asli, semua lawannya, dan angka nol. Bilangan desimal dan pecahan bukan bilangan bulat.

Bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa ditulis sebagai pecahan. Ini berarti bahwa bilangan-bilangan tersebut dapat ditulis sebagai a dibagi b, di mana angka a dan b adalah bilangan bulat, dan b tidak sama dengan 0.

Beberapa bilangan rasional, seperti 1/10, memerlukan jumlah digit yang terbatas setelah titik desimal untuk menuliskannya dalam bentuk desimal. Bilangan sepersepuluh ditulis dalam bentuk desimal sebagai 0,1. Bilangan-bilangan yang ditulis dengan bentuk desimal terbatas adalah rasional. Beberapa bilangan rasional, seperti 1/11, memerlukan jumlah digit tak terhingga setelah titik desimal untuk menuliskannya dalam bentuk desimal. Ada pola yang berulang pada digit-digit yang mengikuti titik desimal. Bilangan satu per sebelas ditulis dalam bentuk desimal sebagai 0.0909090909 ... .

Persentase bisa disebut bilangan rasional, karena persentase seperti 7% bisa ditulis sebagai pecahan 7/100. Ini juga bisa ditulis sebagai desimal 0,07. Kadang-kadang, rasio dianggap sebagai bilangan rasional.

Bilangan irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat ditulis sebagai pecahan, tetapi tidak memiliki bagian imajiner (dijelaskan kemudian).

Bilangan irasional sering muncul dalam geometri. Sebagai contoh, jika kita memiliki sebuah persegi yang memiliki sisi-sisi 1 meter, jarak antara sudut-sudut yang berlawanan adalah akar kuadrat dari dua, yang sama dengan 1.414213 ... . Ini adalah bilangan irasional. Para ahli matematika telah membuktikan bahwa akar kuadrat dari setiap bilangan asli adalah bilangan bulat atau bilangan irasional.

Satu bilangan irasional yang terkenal adalah pi. Ini adalah keliling (jarak di sekeliling) lingkaran dibagi dengan diameternya (jarak di seberang). Angka ini sama untuk setiap lingkaran. Angka pi kira-kira 3.1415926535 ... .

Bilangan irasional tidak dapat sepenuhnya dituliskan dalam bentuk desimal. Ini akan memiliki jumlah digit yang tak terbatas setelah titik desimal. Tidak seperti 0.333333 ..., digit-digit ini tidak akan berulang selamanya.

Bilangan real

Bilangan real adalah nama untuk semua himpunan bilangan yang tercantum di atas:

• Bilangan rasional, termasuk bilangan bulat
• Bilangan irasional

Ini adalah semua angka yang tidak melibatkan bilangan imajiner.

Bilangan imajiner

Bilangan imajiner dibentuk oleh bilangan riil dikalikan dengan bilangan i. Bilangan ini adalah akar kuadrat dari minus satu (-1).

Tidak ada bilangan dalam bilangan real yang ketika dikuadratkan menghasilkan angka -1. Oleh karena itu, para matematikawan menciptakan sebuah bilangan. Mereka menyebut bilangan ini i, atau satuan imajiner.

Bilangan imajiner beroperasi di bawah aturan yang sama seperti bilangan real:

• Jumlah dari dua bilangan imajiner ditemukan dengan menarik keluar (memfaktorkan) i. Contohnya, 2i + 3i = (2 + 3)i = 5i.
• Selisih dari dua bilangan imajiner ditemukan dengan cara yang sama. Misalnya, 5i - 3i = (5 - 3)i = 2i.
• Ketika mengalikan dua bilangan imajiner, ingat bahwa i × i (i² ) adalah -1. Misalnya, 5i × 3i = ( 5 × 3 ) × ( i × i ) = 15 × (-1) = -15.

Bilangan imajiner disebut imajiner karena ketika pertama kali ditemukan, banyak matematikawan tidak berpikir bahwa bilangan imajiner itu ada.^[] Orang yang menemukan bilangan imajiner adalah Gerolamo Cardano pada tahun 1500-an. Orang pertama yang menggunakan kata-kata bilangan imajiner adalah René Descartes. Orang pertama yang menggunakan angka-angka ini adalah Leonard Euler dan Carl Friedrich Gauss. Keduanya hidup di abad ke-18.

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang memiliki dua bagian; bagian nyata dan bagian imajiner. Setiap jenis bilangan yang ditulis di atas juga merupakan bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah bentuk bilangan yang lebih umum. Bilangan kompleks dapat digambar pada bidang bilangan. Ini terdiri dari garis bilangan real, dan garis bilangan imajiner.

           3i|_ | | 2i|_ . 2+2i | | i|_ | | |_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____|_____| -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 | -i|_ .3-i | | .-2-2i -2i|_ | | -3i|_ |

Semua matematika normal dapat dilakukan dengan bilangan kompleks:

• Untuk menjumlahkan dua bilangan kompleks, tambahkan bagian real dan imajiner secara terpisah. Misalnya, (2 + 3i) + (3 + 2i) = (2 + 3) + (3 + 2)i= 5 + 5i.
• Untuk mengurangkan satu bilangan kompleks dari bilangan kompleks lainnya, kurangi bagian real dan imajiner secara terpisah. Misalnya, (7 + 5i) - (3 + 3i) = (7 - 3) + (5 - 3)i = 4 + 2i.

Untuk mengalikan dua bilangan kompleks itu rumit. Paling mudah untuk menggambarkan secara umum, dengan dua bilangan kompleks a + bi dan c + di.

( a + b i ) × ( c + d i ) = a × c + a × d i + b i × c + b i × d i = a c + a d i + b c i - b d = ( a c - b d ) + ( a d + b c ) i {\displaystyle (a + b\mathrm {i} )\kali (c + d\mathrm {i} )= a\kali c + a\kali d\mathrm {i} +b\mathrm {i} \kali c + b\mathrm {i} \times d\mathrm {i} =ac+ad\mathrm {i} +bc\mathrm {i} -bd=(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm {i} }

Misalnya, (4 + 5i) × (3 + 2i) = (4 × 3 - 5 × 2) + (4 × 2 + 5 × 3)i = (12 - 10) + (8 + 15)i = 2 + 23i.

Bilangan transendental

Bilangan real atau kompleks disebut bilangan transendental jika tidak dapat diperoleh sebagai hasil dari persamaan aljabar dengan koefisien bilangan bulat.

a n x n + ⋯ + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}

Membuktikan bahwa suatu bilangan tertentu adalah transendental bisa sangat sulit. Setiap bilangan transendental juga merupakan bilangan irasional. Orang pertama yang melihat bahwa ada bilangan transendental adalah Gottfried Wilhelm Leibniz dan Leonhard Euler. Orang pertama yang benar-benar membuktikan adanya bilangan transendental adalah Joseph Liouville. Dia melakukan ini pada tahun 1844.

Bilangan transendental yang terkenal:

• e
• π
• e^a untuk aljabar a ≠ 0
• 2 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}

√2 adalah irasional.