Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan, tetapi berbeda dari bilangan biasa dalam banyak hal. Bilangan kompleks dibuat dengan menggunakan dua bilangan yang digabungkan bersama. Bagian pertama adalah bilangan real. Bagian kedua dari bilangan kompleks adalah bilangan imajiner. Bilangan imajiner yang paling penting disebut i {\displaystyle i}
, didefinisikan sebagai bilangan yang akan menjadi -1 ketika dikuadratkan ("kuadratkan" berarti "dikalikan dengan dirinya sendiri"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. 
. Semua bilangan imajiner lainnya adalah i {\displaystyle i} dikalikan dengan bilangan real, dengan cara yang sama bahwa semua bilangan real dapat dianggap sebagai 1 dikalikan dengan bilangan lain. Fungsi-fungsi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat digunakan dengan bilangan kompleks. Mereka juga mengikuti sifat komutatif, asosiatif, dan distributif, sama seperti bilangan real.
Bilangan kompleks ditemukan saat mencoba menyelesaikan persamaan khusus yang memiliki eksponen di dalamnya. Ini mulai menimbulkan masalah nyata bagi para matematikawan. Sebagai perbandingan, dengan menggunakan bilangan negatif, adalah mungkin untuk menemukan x dalam persamaan a + x = b {\displaystyle a+x=b}
untuk semua nilai nyata dari a dan b, tetapi jika hanya bilangan positif yang diperbolehkan untuk x, kadang-kadang tidak mungkin untuk menemukan x positif, seperti dalam persamaan 3 + x = 1.
Dengan eksponen, ada kesulitan yang harus diatasi. Tidak ada bilangan real yang menghasilkan -1 ketika dikuadratkan. Dengan kata lain, -1 (atau bilangan negatif lainnya) tidak memiliki akar kuadrat riil. Sebagai contoh, tidak ada bilangan real x {\displaystyle x}
yang menyelesaikan ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
. Untuk menyelesaikan masalah ini, para matematikawan memperkenalkan sebuah simbol i dan menyebutnya sebagai bilangan imajiner. Ini adalah bilangan imajiner yang akan menghasilkan -1 ketika dikuadratkan.
Matematikawan pertama yang memikirkan hal ini mungkin adalah Gerolamo Cardano dan Raffaele Bombelli. Mereka hidup pada abad ke-16. Mungkin Leonhard Euler yang memperkenalkan penulisan i {\displaystyle \mathrm {i} }
untuk angka itu.
Semua bilangan kompleks dapat ditulis sebagai a + b i {\displaystyle a+bi}
(atau a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i}
), di mana a disebut bagian riil dari bilangan tersebut, dan b disebut bagian imajiner. Kita menulis ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)}
atau Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
untuk bagian real dari bilangan kompleks z {\displaystyle z}
. Jadi, jika z = a + b i {\displaystyle z=a+bi}
, kita menulis a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)}
. Demikian pula, kita menulis ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)}
atau Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
untuk bagian imajiner dari bilangan kompleks z {\displaystyle z} ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)}
, untuk z yang sama. Setiap bilangan real juga merupakan bilangan kompleks; ia adalah bilangan kompleks z dengan ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0}
.
Bilangan kompleks juga dapat ditulis sebagai pasangan terurut, (a, b). Baik a dan b adalah bilangan real. Setiap bilangan real dapat dituliskan secara sederhana sebagai a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i}
atau sebagai pasangan (a, 0).
Kadang-kadang, j {\displaystyle j}
ditulis sebagai pengganti i {\displaystyle i} . Dalam teknik elektro, i {\displaystyle i} berarti arus listrik. Penulisan i {\displaystyle i} dapat menyebabkan banyak masalah karena beberapa angka dalam teknik elektro adalah angka kompleks.
Himpunan semua bilangan kompleks biasanya ditulis sebagai C {\displaystyle \mathbb {C} } 
.
