Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah sebuah bilangan, tetapi berbeda dari bilangan biasa dalam banyak hal. Bilangan kompleks dibuat dengan menggunakan dua bilangan yang digabungkan bersama. Bagian pertama adalah bilangan real. Bagian kedua dari bilangan kompleks adalah bilangan imajiner. Bilangan imajiner yang paling penting disebut i {\displaystyle i} $i$ , didefinisikan sebagai bilangan yang akan menjadi -1 ketika dikuadratkan ("kuadratkan" berarti "dikalikan dengan dirinya sendiri"): i 2 = i × i = - 1 {\displaystyle i^{2}=i\times i=-1\ }. $i^{2}=i\times i=-1\$ . Semua bilangan imajiner lainnya adalah i {\displaystyle i} $i$ dikalikan dengan bilangan real, dengan cara yang sama bahwa semua bilangan real dapat dianggap sebagai 1 dikalikan dengan bilangan lain. Fungsi-fungsi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat digunakan dengan bilangan kompleks. Mereka juga mengikuti sifat komutatif, asosiatif, dan distributif, sama seperti bilangan real.

Bilangan kompleks ditemukan saat mencoba menyelesaikan persamaan khusus yang memiliki eksponen di dalamnya. Ini mulai menimbulkan masalah nyata bagi para matematikawan. Sebagai perbandingan, dengan menggunakan bilangan negatif, adalah mungkin untuk menemukan x dalam persamaan a + x = b {\displaystyle a+x=b} $a+x=b$ untuk semua nilai nyata dari a dan b, tetapi jika hanya bilangan positif yang diperbolehkan untuk x, kadang-kadang tidak mungkin untuk menemukan x positif, seperti dalam persamaan $3 + x = 1.$

Dengan eksponen, ada kesulitan yang harus diatasi. Tidak ada bilangan real yang menghasilkan -1 ketika dikuadratkan. Dengan kata lain, -1 (atau bilangan negatif lainnya) tidak memiliki akar kuadrat riil. Sebagai contoh, tidak ada bilangan real x {\displaystyle x} yang menyelesaikan ( x + 1 ) 2 = - 9 {\displaystyle (x+1)^{2}=-9} $(x+1)^{2}=-9$ . Untuk menyelesaikan masalah ini, para matematikawan memperkenalkan sebuah simbol i dan menyebutnya sebagai bilangan imajiner. Ini adalah bilangan imajiner yang akan menghasilkan -1 ketika dikuadratkan.

Matematikawan pertama yang memikirkan hal ini mungkin adalah Gerolamo Cardano dan Raffaele Bombelli. Mereka hidup pada abad ke-16. Mungkin Leonhard Euler yang memperkenalkan penulisan i {\displaystyle \mathrm {i} } $\mathrm {i}$ untuk angka itu.

Semua bilangan kompleks dapat ditulis sebagai a + b i {\displaystyle a+bi} $a+bi$ (atau a + b ⋅ i {\displaystyle a+b\cdot i} $a+b\cdot i$ ), di mana a disebut bagian riil dari bilangan tersebut, dan b disebut bagian imajiner. Kita menulis ℜ ( z ) {\displaystyle \Re (z)} $\Re (z)$ atau Re ( z ) {\displaystyle \operatorname {Re} (z)} $\operatorname {Re} (z)$ untuk bagian real dari bilangan kompleks z {\displaystyle z} $z$ . Jadi, jika z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , kita menulis a = ℜ ( z ) = Re ( z ) {\displaystyle a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)} $a=\Re (z)=\operatorname {Re} (z)$ . Demikian pula, kita menulis ℑ ( z ) {\displaystyle \Im (z)} $\Im (z)$ atau Im ( z ) {\displaystyle \operatorname {Im} (z)} $\operatorname {Im} (z)$ untuk bagian imajiner dari bilangan kompleks z {\displaystyle z} $z$ ; b = ℑ ( z ) = Im ( z ) {\displaystyle b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)} $b=\Im (z)=\operatorname {Im} (z)$ , untuk $z$ yang sama. Setiap bilangan real juga merupakan bilangan kompleks; ia adalah bilangan kompleks $z$ dengan ℑ ( z ) = 0 {\displaystyle \Im (z)=0} $\Im (z)=0$ .

Bilangan kompleks juga dapat ditulis sebagai pasangan terurut, $(a, b)$ . Baik a dan b adalah bilangan real. Setiap bilangan real dapat dituliskan secara sederhana sebagai a + 0 ⋅ i {\displaystyle a+0\cdot i} $a+0\cdot i$ atau sebagai pasangan $(a, 0).$

Kadang-kadang, j {\displaystyle j} $j$ ditulis sebagai pengganti i {\displaystyle i} $i$ . Dalam teknik elektro, i {\displaystyle i} $i$ berarti arus listrik. Penulisan i {\displaystyle i} $i$ dapat menyebabkan banyak masalah karena beberapa angka dalam teknik elektro adalah angka kompleks.

Himpunan semua bilangan kompleks biasanya ditulis sebagai C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .

Operasi atas bilangan kompleks

Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian selama pembaginya bukan nol, dan eksponensial (menaikkan angka menjadi eksponen) semuanya dimungkinkan dengan bilangan kompleks. Beberapa perhitungan lain juga dimungkinkan dengan bilangan kompleks.

Aturan untuk penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks cukup sederhana:

Misalkan z = ( a + b i ) , w = ( c + d i ) {\displaystyle z=(a+bi),w=(c+di)} $z=(a+bi),w=(c+di)$ , maka z + w = ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i} $z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ , dan z - w = ( a + b i ) - ( c + d i ) = ( a - c ) + ( b - d ) i {\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i} $z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$ .

Perkalian sedikit berbeda:

z ⋅ w = ( a + b i ) ( c + d i ) = a c + b c i + a d i + b d i 2 = ( a c - b d ) + ( b c + a d ) i . {\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i. } $z\cdot w=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

Operasi penting lainnya untuk bilangan kompleks adalah konjugasi. Konjugasi kompleks z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} ${\overline {z}}$ untuk z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ adalah a - b i {\displaystyle a-bi} $a-bi$ . Hal ini cukup sederhana, tetapi penting untuk perhitungan, karena z × z ¯ {\displaystyle z\times {\overline {z}}} $z\times {\overline {z}}$ termasuk bilangan real untuk semua z kompleks {\displaystyle z} $z$ :

z z ¯ = ( a + b i ) ( a - b i ) = ( a 2 + b 2 ) + ( a b - a b ) i = a 2 + b 2 {\displaystyle z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}}} $z{\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=(a^{2}+b^{2})+(ab-ab)i=a^{2}+b^{2}$ .

Kita bisa menggunakan ini untuk melakukan pembagian:

1 z = z ¯ z z ¯ = a - b i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i} ${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$

w z = w ( 1 z ) = ( c + d i ) ⋅ ( a a 2 + b 2 - b a 2 + b 2 i ) = 1 a 2 + b 2 ( ( c x + d y ) + ( d x - c y ) i ) . {\displaystyle {\frac {w}{{z}}}=w({\frac {1}{{z}}})=(c+di)\cdot \kiri({\frac {a}{a^{2}}+b^{2}}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}i\kanan)={\frac {1}{a^{{2}+b^{2}}}\kiri((cx+dy)+(dx-cy)i\kanan). } ${\frac {w}{z}}=w({\frac {1}{z}})=(c+di)\cdot \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left((cx+dy)+(dx-cy)i\right).$

Bentuk-bentuk lain untuk menggambarkan bilangan kompleks

Bilangan kompleks dapat ditunjukkan pada bidang kompleks. Jika Anda memiliki bilangan z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} $z=a+bi$ , Anda dapat pergi ke suatu titik pada sumbu riil dan ke b pada sumbu imajiner dan menggambar vektor dari (0, 0) {\displaystyle (0,0)} $(0,0)$ ke (a, b) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Panjang vektor ini dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras dan sudut antara sumbu real positif dan vektor ini, berlawanan arah jarum jam. Panjang vektor untuk bilangan z {\displaystyle z} $z$ disebut modulus (ditulis sebagai | z | {\displaystyle |z|} $|z|$ ), dan sudut disebut argumennya ( arg z {\displaystyle \arg z} $\arg z$ ).

Ini mengarah ke bentuk trigonometri untuk menggambarkan bilangan kompleks: dengan definisi sinus dan cosinus, untuk semua z {\displaystyle z} $z$ berdiri bahwa

z = | z | ( cos arg z + i sin arg z ). {\displaystyle z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z). } $z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z).$

Hal ini terkait erat dengan rumus De Moivre.

Bahkan ada bentuk lain, yang disebut bentuk eksponensial.

Bilangan kompleks dapat ditunjukkan secara visual sebagai dua bilangan yang membentuk vektor pada diagram Argand, yang mewakili bidang kompleks.

Kesimpulan

Dengan penambahan bilangan kompleks ke dalam matematika, setiap polinomial dengan koefisien kompleks memiliki akar-akar yang merupakan bilangan kompleks. Keberhasilan penambahan bilangan kompleks ke dalam matematika juga membantu membuka jalan bagi penciptaan jenis bilangan lain yang dapat menyelesaikan dan membantu menjelaskan berbagai masalah yang berbeda, misalnya: bilangan hiperkompleks, sedenion, bilangan hiperreal, bilangan surealis dan banyak lainnya. Lihat jenis-jenis bilangan.

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan bilangan kompleks?

J: Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian, bagian pertama adalah bilangan real dan bagian kedua adalah bilangan imajiner.

T: Apa bilangan imajiner yang paling penting?

J: Bilangan imajiner yang paling penting disebut i, yang didefinisikan sebagai bilangan yang akan menjadi -1 ketika dikuadratkan.

T: Bagaimana fungsi-fungsi aritmatika digunakan dengan bilangan kompleks?

J: Fungsi-fungsi aritmatika seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat digunakan dengan bilangan kompleks. Mereka juga mengikuti sifat komutatif, asosiatif, dan distributif seperti halnya bilangan real.

T: Simbol apa yang mewakili himpunan bilangan kompleks?

J: Himpunan bilangan kompleks sering direpresentasikan menggunakan simbol C.

T: Mengapa bilangan kompleks ditemukan?

J: Bilangan kompleks ditemukan ketika mencoba menyelesaikan persamaan khusus yang memiliki eksponen di dalamnya karena bilangan kompleks menimbulkan masalah nyata bagi para matematikawan.

T: Siapa yang memperkenalkan penulisan i untuk jenis bilangan ini?

J: Mungkin Leonhard Euler yang memperkenalkan penulisan i untuk jenis bilangan ini.

T: Bagaimana bilangan kompleks dapat ditulis sebagai pasangan terurut?

J: Bilangan kompleks dapat dituliskan sebagai pasangan terurut (a, b), di mana a dan b adalah bilangan real.