Eksponensiasi

Eksponensiasi (pangkat) adalah operasi aritmatika pada bilangan. Ini adalah perkalian berulang, sama seperti perkalian adalah penjumlahan berulang. Orang menulis eksponen dengan indeks atas. Ini terlihat seperti ini: x y {\displaystyle x^{y}} . Metode notasi matematika lainnya telah digunakan di masa lalu. Ketika menulis dengan peralatan yang tidak dapat menggunakan indeks atas, orang menulis pangkat dengan menggunakan tanda ^ atau **, jadi 2^3 atau 2**3 berarti 2 3 {\displaystyle 2^{3}} . .

Bilangan x {\displaystyle x} disebut basis, dan bilangan y {\displaystyle y} disebut eksponen. Sebagai contoh, dalam 2 3 {\displaystyle 2^{3}} , 2 adalah basis dan 3 adalah eksponen.

Untuk menghitung 2 3 {\displaystyle 2^{3}} seseorang harus mengalikan angka 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali. Jadi 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} . Hasilnya adalah 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} . Persamaan tersebut dapat dibaca dengan keras dengan cara ini: 2 dipangkatkan 3 sama dengan 8.

Contoh:

• 5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125}
• x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x}
• 1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} untuk setiap bilangan x

Jika eksponennya sama dengan 2, maka pangkatnya disebut kuadrat karena luas dari sebuah kuadrat dihitung dengan menggunakan 2 {\displaystyle a^{2}} . Jadi

x 2 {\displaystyle x^{2}} adalah kuadrat dari x {\displaystyle x}

Jika eksponennya sama dengan 3, maka pangkatnya disebut kubus karena volume kubus dihitung dengan menggunakan 3 {\displaystyle a^{3}}. . Jadi

x 3 {\displaystyle x^{3}} adalah kubus dari x {\displaystyle x}

Jika eksponen sama dengan -1 maka orang tersebut harus menghitung kebalikan dari basis. Jadi

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}}

Jika eksponen adalah bilangan bulat dan kurang dari 0 maka orang tersebut harus membalikkan angka dan menghitung pangkatnya. Sebagai contoh:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}}

Jika eksponen sama dengan 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{{2}}}} maka hasil dari eksponen adalah akar kuadrat dari basis. Jadi x 1 2 = x. {\displaystyle x^{\frac {1}{{2}}={\sqrt {x}}. } Contoh:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2}

Demikian pula, jika eksponennya adalah 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}} hasilnya adalah akar ke-n, jadi:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}}

Jika eksponennya adalah bilangan rasional p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}} maka hasilnya adalah akar ke-q dari basis yang dipangkatkan dengan pangkat p, jadi:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}}

Eksponen bahkan mungkin tidak rasional. Untuk menaikkan basis a ke pangkat x irasional, kita menggunakan deret tak terhingga dari bilangan-bilangan rasional (x_i ), yang batasnya adalah x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}

seperti ini:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}}

Ada beberapa aturan yang membantu untuk menghitung kekuatan:

• ( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}}
• ( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}},\quad b\neq 0}
• a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}}
• a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0}
• a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0}
• ( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}}
• a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1}

Dimungkinkan untuk menghitung eksponensialisasi matriks. Matriks harus berbentuk bujur sangkar. Sebagai contoh: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} .