Eksponensiasi

Eksponensiasi (pangkat) adalah operasi aritmatika pada bilangan. Ini adalah perkalian berulang, sama seperti perkalian adalah penjumlahan berulang. Orang menulis eksponen dengan indeks atas. Ini terlihat seperti ini: x y {\displaystyle x^{y}} $x^{y}$ . Metode notasi matematika lainnya telah digunakan di masa lalu. Ketika menulis dengan peralatan yang tidak dapat menggunakan indeks atas, orang menulis pangkat dengan menggunakan tanda ^ atau **, jadi 2^3 atau 2**3 berarti 2 3 {\displaystyle 2^{3}} . $2^{3}$ .

Bilangan x {\displaystyle x} disebut basis, dan bilangan y {\displaystyle y} disebut eksponen. Sebagai contoh, dalam 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ , 2 adalah basis dan 3 adalah eksponen.

Untuk menghitung 2 3 {\displaystyle 2^{3}} $2^{3}$ seseorang harus mengalikan angka 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 3 kali. Jadi 2 3 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2} $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2$ . Hasilnya adalah 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 {\displaystyle 2\cdot 2\cdot 2=8} $2\cdot 2\cdot 2=8$ . Persamaan tersebut dapat dibaca dengan keras dengan cara ini: 2 dipangkatkan 3 sama dengan 8.

Contoh:

5 3 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 {\displaystyle 5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125} $5^{3}=5\cdot {}5\cdot {}5=125$
x 2 = x ⋅ x {\displaystyle x^{2}=x\cdot {}x} $x^{2}=x\cdot {}x$
1 x = 1 {\displaystyle 1^{x}=1} $1^{x}=1$ untuk setiap bilangan x

Jika eksponennya sama dengan 2, maka pangkatnya disebut kuadrat karena luas dari sebuah kuadrat dihitung dengan menggunakan 2 {\displaystyle a^{2}} $a^{2}$ . Jadi

x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ adalah kuadrat dari x {\displaystyle x}

Jika eksponennya sama dengan 3, maka pangkatnya disebut kubus karena volume kubus dihitung dengan menggunakan 3 {\displaystyle a^{3}}. $a^{3}$ . Jadi

x 3 {\displaystyle x^{3}} $x^{3}$ adalah kubus dari x {\displaystyle x}

Jika eksponen sama dengan -1 maka orang tersebut harus menghitung kebalikan dari basis. Jadi

x - 1 = 1 x {\displaystyle x^{-1}={\frac {1}{x}}}} $x^{-1}={\frac {1}{x}}$

Jika eksponen adalah bilangan bulat dan kurang dari 0 maka orang tersebut harus membalikkan angka dan menghitung pangkatnya. Sebagai contoh:

2 - 3 = ( 1 2 ) 3 = 1 8 {\displaystyle 2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}}} $2^{-3}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}={\frac {1}{8}}$

Jika eksponen sama dengan 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{{2}}}} ${\frac {1}{2}}$ maka hasil dari eksponen adalah akar kuadrat dari basis. Jadi x 1 2 = x. {\displaystyle x^{\frac {1}{{2}}={\sqrt {x}}. } $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}.$ Contoh:

4 1 2 = 4 = 2 {\displaystyle 4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2} $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$

Demikian pula, jika eksponennya adalah 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}}} ${\frac {1}{n}}$ hasilnya adalah akar ke-n, jadi:

a 1 n = a n {\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}} $a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Jika eksponennya adalah bilangan rasional p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}}} ${\frac {p}{q}}$ maka hasilnya adalah akar ke-q dari basis yang dipangkatkan dengan pangkat p, jadi:

a p q = a p q {\displaystyle a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}} $a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}$

Eksponen bahkan mungkin tidak rasional. Untuk menaikkan basis a ke pangkat x irasional, kita menggunakan deret tak terhingga dari bilangan-bilangan rasional (x_i ), yang batasnya adalah x:

x = lim n → ∞ x n {\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}} $x=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

seperti ini:

a x = lim n → ∞ a x n {\displaystyle a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}}} $a^{x}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}$

Ada beberapa aturan yang membantu untuk menghitung kekuatan:

( a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n {\displaystyle \left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}}} $\left(a\cdot b\right)^{n}=a^{n}\cdot {}b^{n}$
( a b ) n = a n b n , b ≠ 0 {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}},\quad b\neq 0} $\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},\quad b\neq 0$
a r ⋅ a s = a r + s {\displaystyle a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}}} $a^{r}\cdot {}a^{s}=a^{r+s}$
a r a s = a r - s , a ≠ 0 {\displaystyle {\frac {a^{r}}{a^{s}}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0} ${\frac {a^{r}}{a^{s}}}=a^{r-s},\quad a\neq 0$
a - n = 1 a n , a ≠ 0 {\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}},\quad a\neq 0} $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}},\quad a\neq 0$
( a r ) s = a r ⋅ s {\displaystyle \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}} $\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r\cdot s}$
a 0 = 1 {\displaystyle a^{0}=1} $a^{0}=1$

Dimungkinkan untuk menghitung eksponensialisasi matriks. Matriks harus berbentuk bujur sangkar. Sebagai contoh: I 2 = I ⋅ I = I {\displaystyle I^{2}=I\cdot I=I} $I^{2}=I\cdot I=I$ .

Komutatifitas

Baik penjumlahan maupun perkalian bersifat komutatif. Contohnya, 2+3 sama dengan 3+2; dan 2 - 3 sama dengan 3 - 2. Meskipun eksponensial adalah perkalian berulang, namun tidak komutatif. Misalnya, 2³ = 8 tetapi 3² = 9.

Operasi Terbalik

Penjumlahan memiliki satu operasi kebalikan: pengurangan. Juga, perkalian memiliki satu operasi kebalikan: pembagian.

Tetapi eksponensial memiliki dua operasi kebalikan: Akar dan logaritma. Hal ini terjadi karena eksponenasi tidak komutatif. Anda dapat melihat ini dalam contoh ini:

Jika Anda memiliki x + 2 = 3, maka Anda dapat menggunakan pengurangan untuk mengetahui bahwa x = 3-2. Ini sama jika Anda memiliki 2+x=3: Anda juga mendapatkan x=3-2. Ini karena x+2 sama dengan 2+x.
Jika anda memiliki x - 2=3, maka anda dapat menggunakan pembagian untuk mengetahui bahwa x= 3 2 {\\textstyle {\frac {3}{{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Ini sama jika Anda memiliki 2 - x = 3: Anda juga mendapatkan x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Ini karena x - 2 sama dengan 2 - x
Jika Anda memiliki x² = 3, maka Anda menggunakan akar (kuadrat) untuk mencari x: Anda mendapatkan hasil x = 3 2 {\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}} ${\textstyle {\sqrt[{2}]{3}}}$ . Namun, jika Anda memiliki 2^x =3, maka Anda tidak dapat menggunakan akar untuk mengetahui x. Sebaliknya, Anda harus menggunakan logaritma (biner) untuk mengetahui x: Anda mendapatkan hasil x = log₂ (3).

Halaman terkait

Eksponen

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa itu eksponensial?

J: Eksponensial adalah operasi aritmatika pada bilangan yang dapat dianggap sebagai perkalian berulang.

T: Bagaimana eksponen ditulis?

J: Eksponen biasanya ditulis sebagai x^y, dimana x adalah basis dan y adalah eksponen. Ini juga dapat ditulis menggunakan tanda ^ atau **, seperti 2^4 atau 2**4.

T: Apa saja contoh-contoh eksponen?

J: Contoh-contoh eksponen termasuk 5^3 = 5*5*5 = 125; x^2 = x*x; 1^x = 1 untuk setiap angka x; dan 4^(1/2) = sqrt(4) = 2.

T: Apa artinya bila eksponen sama dengan -1?

J: Bila eksponen sama dengan -1, maka pangkatnya hanyalah kebalikan dari basis (x^(-1) = 1/x).

T: Bagaimana Anda menghitung pangkat irasional dari suatu basis?

J: Untuk menaikkan basis a ke pangkat x irasional, kita menggunakan deret tak hingga dari bilangan-bilangan rasional (xn), yang batasnya adalah x (a^x = lim n-> tak terhingga a^(x_n)).

T: Apakah ada aturan-aturan yang membuat penghitungan eksponen menjadi lebih mudah?

J: Ya, ada beberapa aturan yang membuat penghitungan eksponen lebih mudah. Ini termasuk (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n; (a / b) ^ n = a ^ n / b ^ n; a ^ r * a ^ s = a ^ (r + s); dan seterusnya.