Logaritma

Logaritma atau log adalah bagian dari matematika. Logaritma terkait dengan fungsi eksponensial. Logaritma memberi tahu eksponen (atau pangkat) apa yang diperlukan untuk membuat angka tertentu, jadi logaritma adalah kebalikan (kebalikan) dari eksponensial. Secara historis, logaritma berguna dalam mengalikan atau membagi bilangan besar.

Contoh dari logaritma adalah log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ } $\log _{2}(8)=3\$ . Dalam logaritma ini, basisnya adalah 2, argumennya adalah 8 dan jawabannya adalah 3.

Jenis logaritma yang paling umum adalah logaritma umum, di mana basisnya adalah 10, dan logaritma natural, di mana basisnya adalah e ≈ 2.71828.

Cangkang nautilus yang terbuka. Ruang-ruangnya membuat spiral logaritmik

Sejarah

Logaritma pertama kali digunakan di India pada abad ke-2 SM. Yang pertama kali menggunakan logaritma di zaman modern adalah matematikawan Jerman, Michael Stifel (sekitar tahun 1487-1567). Pada tahun 1544, dia menuliskan persamaan berikut: q m q n = q m + n {\displaystyle q^{m}q^{{n}=q^{{m+n}} $q^{m}q^{n}=q^{m+n}$ dan q m q n = q m - n {\displaystyle {\tfrac {q^{m}}{q^{{n}}}=q^{m-n}} ${\tfrac {q^{m}}{q^{n}}}=q^{m-n}$ Ini adalah dasar untuk memahami logaritma. Bagi Stifel, m {\displaystyle m} dan n {\displaystyle n} haruslah bilangan bulat. John Napier (1550-1617) tidak menginginkan pembatasan ini, dan menginginkan rentang untuk eksponen.

Menurut Napier, logaritma menyatakan rasio: a {\displaystyle a} memiliki rasio yang sama dengan b {\displaystyle b} $b$ , seperti c {\displaystyle c} $c$ dengan d {\displaystyle d} $d$ jika selisih logaritmanya cocok. Secara matematis: log ( a ) - log ( b ) = log ( c ) - log ( d ) {\displaystyle \log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)} $\log(a)-\log(b)=\log(c)-\log(d)$ . Pada awalnya, basis e digunakan (meskipun bilangan tersebut belum diberi nama). Henry Briggs mengusulkan untuk menggunakan 10 sebagai basis untuk logaritma, logaritma tersebut sangat berguna dalam astronomi.

John Napier bekerja pada logaritma

Hubungan dengan fungsi eksponensial

Logaritma memberitahu eksponen (atau pangkat) apa yang diperlukan untuk membuat angka tertentu, jadi logaritma adalah kebalikan (kebalikan) dari eksponensial.

Sama seperti fungsi eksponensial yang memiliki tiga bagian, logaritma juga memiliki tiga bagian. Tiga bagian dari logaritma adalah basis, argumen dan jawaban (juga disebut pangkat).

Ini adalah fungsi eksponensial:

2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8\ } $2^{3}=8\$

Dalam fungsi ini, basisnya adalah 2, argumennya 3 dan jawabannya 8.

Fungsi eksponensial ini memiliki kebalikannya, yaitu logaritmanya:

log 2 ( 8 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(8)=3\ } $\log _{2}(8)=3\$

Dalam logaritma ini, basisnya adalah 2, argumennya 8 dan jawabannya 3.

Perbedaan dengan akar

Penjumlahan memiliki satu operasi kebalikan: pengurangan. Juga, perkalian memiliki satu operasi invers: pembagian. Oleh karena itu, mungkin sulit untuk memahami mengapa eksponen sebenarnya memiliki dua operasi invers: Mengapa kita membutuhkan logaritma jika sudah ada akarnya? Ini adalah kasusnya karena eksponen tidak komutatif.

Contoh berikut mengilustrasikan hal ini:

Jika Anda memiliki x + 2 = 3, maka Anda dapat menggunakan pengurangan untuk mengetahui bahwa x = 3-2. Ini sama jika Anda memiliki 2+x=3: Anda juga mendapatkan x=3-2. Ini karena x+2 sama dengan 2+x.
Jika anda memiliki x - 2=3, maka anda dapat menggunakan pembagian untuk mengetahui bahwa x= 3 2 {\\textstyle {\frac {3}{{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Ini sama jika Anda memiliki 2 - x = 3: Anda juga mendapatkan x= 3 2 {\textstyle {\frac {3}{2}}} ${\textstyle {\frac {3}{2}}}$ . Ini karena x - 2 sama dengan 2 - x.
Jika Anda memiliki x² = 3, maka Anda menggunakan akar (kuadrat) untuk mencari x: Anda mendapatkan hasil x = 3 {\textstyle {\sqrt {3}}} ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ . Namun, jika Anda memiliki 2^x =3, maka Anda tidak dapat menggunakan akar untuk mengetahui x. Sebaliknya, Anda harus menggunakan logaritma (biner) untuk mengetahui x: Anda mendapatkan hasil x = log₂ (3).
Ini karena 2^x biasanya tidak sama dengan x² (misalnya, 2⁵ =32 tetapi 5²=25).

Menggunakan

Logaritma dapat membuat perkalian dan pembagian bilangan besar menjadi lebih mudah karena menambahkan logaritma sama dengan mengalikan, dan mengurangi logaritma sama dengan membagi.

Sebelum kalkulator menjadi populer dan umum, orang menggunakan tabel logaritma dalam buku untuk mengalikan dan membagi. Informasi yang sama dalam tabel logaritma tersedia pada slide rule, sebuah alat dengan logaritma yang tertulis di atasnya.

Spiral logaritmik umum terjadi di alam. Contohnya termasuk cangkang nautilus atau susunan biji pada bunga matahari.
Dalam kimia, negatif dari logaritma basis-10 dari aktivitas ion hidronium (H₃ O⁺ , bentuk yang diambil H⁺ dalam air) adalah ukuran yang dikenal sebagai pH. Aktivitas ion hidronium dalam air netral adalah 10⁻⁷ mol/L pada 25 °C, maka pH 7. (Ini adalah hasil dari konstanta kesetimbangan, hasil kali konsentrasi ion hidronium dan ion hidroksil, dalam larutan air menjadi 10⁻¹⁴ M² .).
Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi pada skala logaritmik basis-10.
Dalam astronomi, magnitudo semu mengukur kecerahan bintang secara logaritmik, karena mata juga merespons kecerahan secara logaritmik.
Interval musik diukur secara logaritmik sebagai seminada. Interval antara dua nada dalam seminada adalah basis-2^1/12 logaritma dari rasio frekuensi (atau setara, 12 kali logaritma basis-2). Seminada pecahan digunakan untuk temperamen yang tidak sama. Khususnya untuk mengukur penyimpangan dari skala temper yang sama, interval juga dinyatakan dalam sen (seperseratus dari semitone temper yang sama). Interval antara dua not dalam sen adalah basis-2^1/1200 logaritma dari rasio frekuensi (atau 1200 kali logaritma basis-2). Dalam MIDI, not-not diberi nomor pada skala semitone (nada nominal absolut logaritmik dengan C tengah pada 60). Untuk penyetelan mikro ke sistem penyetelan lainnya, skala logaritmik didefinisikan mengisi rentang di antara semitone dari skala tempered yang sama dengan cara yang kompatibel. Skala ini sesuai dengan nomor not untuk seminada utuh. (lihat penyetelan mikro dalam MIDI).

Logaritma umum

Logaritma ke basis 10 disebut logaritma umum. Logaritma ini biasanya ditulis tanpa basis. Sebagai contoh:

log ( 100 ) = 2 {\displaystyle \log(100)=2\ } $\log(100)=2\$

Ini berarti:

10 2 = 100 {\displaystyle 10^{{2}=100\ } $10^{2}=100\$

Logaritma alami

Logaritma ke basis e disebut logaritma natural. Bilangan e hampir 2,71828, dan juga disebut konstanta Eulerian menurut matematikawan Leonhard Euler.

Logaritma natural dapat mengambil simbol log e ( x ) {\displaystyle \log _{e}(x)\,} $\log _{e}(x)\,$ atau ln ( x ) {\displaystyle \ln(x)\,} $\ln(x)\,$

Beberapa penulis lebih suka menggunakan logaritma natural sebagai log ( x ) {\displaystyle \log(x)} $\log(x)$ tetapi biasanya menyebutkan hal ini pada halaman kata pengantar.

Basis umum untuk logaritma

dasar	singkatan	Komentar
2	ld {\displaystyle \operatorname {ld} } $\operatorname {ld}$	Sangat umum dalam Ilmu Komputer (biner)
e	ln {\displaystyle \ln } $\ln$ atau cukup log {\displaystyle \log } $\log$	Basis dari ini adalah konstanta Eulerian e. Ini adalah logaritma yang paling umum digunakan dalam matematika murni.
10	log 10 {\displaystyle \log _{10}} $\log _{10}$ atau log {\displaystyle \log } $\log$ (terkadang juga ditulis sebagai lg {\displaystyle \lg } $\lg$ )	Digunakan dalam beberapa ilmu pengetahuan seperti kimia dan biologi.
bilangan apa saja, n	log n {\displaystyle \log _{n}} $\log _{n}$	Ini adalah cara umum untuk menulis logaritma

Sifat-sifat logaritma

Logaritma memiliki banyak sifat. Sebagai contoh:

Sifat-sifat dari definisi logaritma

Sifat ini langsung dari definisi logaritma:

log n ( n a ) = a {\displaystyle \log _{n}(n^{a})=a} $\log _{n}(n^{a})=a$ Sebagai contoh

log 2 ( 2 3 ) = 3 {\displaystyle \log _{2}(2^{3})=3}. $\log _{2}(2^{3})=3$ , dan

log 2 ( 1 2 ) = - 1 {\displaystyle \log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{{2}}{{\bigg )}=-1} $\log _{2}{\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}=-1$ karena 1 2 = 2 - 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}}=2^{-1}}} ${\frac {1}{2}}=2^{-1}$ .

Logaritma ke basis b dari bilangan a sama dengan logaritma a dibagi dengan logaritma b. Artinya,

log b ( a ) = log ( a ) log ( b ) {\displaystyle \log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}}} $\log _{b}(a)={\frac {\log(a)}{\log(b)}}$

Misalnya, misalkan a adalah 6 dan b adalah 2. Dengan kalkulator, kita bisa menunjukkan bahwa ini benar atau paling tidak sangat dekat:

log 2 ( 6 ) = log ( 6 ) log ( 2 ) {\displaystyle \log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}}} $\log _{2}(6)={\frac {\log(6)}{\log(2)}}$

log 2 ( 6 ) ≈ 2.584962 {\displaystyle \log _{2}(6)\approx 2.584962} $\log _{2}(6)\approx 2.584962$

2.584962 ≈ 0.778151 0.301029 ≈ 2.584970 {\displaystyle 2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970} $2.584962\approx {\frac {0.778151}{0.301029}}\approx 2.584970$

Hasil kami memiliki kesalahan kecil, tetapi ini disebabkan oleh pembulatan angka.

Karena sulit untuk menggambarkan logaritma natural, kita menemukan bahwa, dalam hal logaritma basis-sepuluh:

ln ( x ) = log ( x ) log ( e ) ≈ log ( x ) 0.434294 {\displaystyle \ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}}}} $\ln(x)={\frac {\log(x)}{\log(e)}}\approx {\frac {\log(x)}{0.434294}}$ Di mana 0.434294 adalah perkiraan untuk logaritma e.

Operasi dalam argumen logaritma

Logaritma yang mengalikan di dalam argumennya dapat diubah sebagai berikut:

log ( a b ) = log ( a ) + log ( b ) {\displaystyle \log(ab)=\log(a)+\log(b)} $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$

Contohnya,

log ( 1000 ) = log ( 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ) = log ( 10 ) + log ( 10 ) + log ( 10 ) = 1 + 1 + 1 = 3 {\displaystyle \log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3} $\log(1000)=\log(10\cdot 10\cdot 10)=\log(10)+\log(10)+\log(10)=1+1+1=3$

Hal yang sama juga berlaku untuk pembagian, tetapi pengurangan bukan penambahan, karena ini adalah operasi kebalikan dari perkalian:

log ( a b ) = log ( a ) - log ( b ) {\displaystyle \log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)} $\log {\bigg (}{\frac {a}{b}}{\bigg )}=\log(a)-\log(b)$

Tabel logaritma, aturan geser, dan aplikasi historis

Sebelum komputer elektronik, logaritma digunakan setiap hari oleh para ilmuwan. Logaritma membantu para ilmuwan dan insinyur di banyak bidang seperti astronomi.

Sebelum komputer, tabel logaritma adalah alat yang penting. Pada tahun 1617, Henry Briggs mencetak tabel logaritma pertama. Ini segera setelah penemuan dasar Napier. Kemudian, orang membuat tabel dengan cakupan dan presisi yang lebih baik. Tabel-tabel ini mencantumkan nilai-nilai log_b (x) dan b^x untuk setiap angka x dalam rentang tertentu, pada presisi tertentu, untuk basis b tertentu (biasanya b = 10). Misalnya, tabel pertama Briggs berisi logaritma umum dari semua bilangan bulat dalam kisaran 1-1000, dengan presisi 8 digit. Karena fungsi f(x) = b^x adalah fungsi invers dari log_b (x), maka ia disebut antilogaritma. Orang menggunakan tabel-tabel ini untuk mengalikan dan membagi angka. Misalnya, seorang pengguna mencari logaritma dalam tabel untuk masing-masing dari dua bilangan positif. Menjumlahkan angka-angka dari tabel akan memberikan logaritma dari produk. Fitur antilogaritma dari tabel kemudian akan menemukan produk berdasarkan logaritmanya.

Untuk kalkulasi manual yang membutuhkan presisi, melakukan pencarian dua logaritma, menghitung jumlah atau selisihnya, dan mencari antilogaritma jauh lebih cepat daripada melakukan perkalian dengan cara sebelumnya.

Banyak tabel logaritma memberikan logaritma dengan secara terpisah memberikan karakteristik dan mantissa dari x, yaitu, bagian bilangan bulat dan bagian pecahan dari log₁₀ (x). Karakteristik dari 10 - x adalah satu ditambah karakteristik dari x, dan signifikansinya sama. Hal ini memperluas cakupan tabel logaritma: diberikan sebuah tabel yang mencantumkan log₁₀ (x) untuk semua bilangan bulat x mulai dari 1 sampai 1000, logaritma dari 3542 didekati oleh

log 10 ( 3542 ) = log 10 ( 10 ⋅ 354.2 ) = 1 + log 10 ( 354.2 ) ≈ 1 + log 10 ( 354 ) . {\displaystyle \log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).}. $\log _{10}(3542)=\log _{10}(10\cdot 354.2)=1+\log _{10}(354.2)\approx 1+\log _{10}(354).\,$

Aplikasi penting lainnya adalah slide rule, sepasang skala yang dibagi secara logaritmik yang digunakan untuk penghitungan, seperti diilustrasikan di sini:

Angka-angka ditandai pada skala geser pada jarak yang proporsional dengan perbedaan antara logaritmanya. Menggeser skala atas secara tepat sama dengan menambahkan logaritma secara mekanis. Misalnya, menambahkan jarak dari 1 ke 2 pada skala bawah ke jarak dari 1 ke 3 pada skala atas menghasilkan produk 6, yang dibaca di bagian bawah. Banyak insinyur dan ilmuwan menggunakan aturan geser sampai tahun 1970-an. Para ilmuwan bisa bekerja lebih cepat menggunakan slide rule daripada menggunakan tabel logaritma.

Penggambaran skematis dari sebuah aturan geser. Mulai dari 2 pada skala bawah, tambahkan jarak ke 3 pada skala atas untuk mencapai hasil kali 6. Aturan geser bekerja karena ditandai sedemikian rupa sehingga jarak dari 1 ke x sebanding dengan logaritma x.

Nebula dan gugus bintang terdekat (peta yang dapat diklik)

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa itu logaritma?

J: Logaritma adalah bagian dari matematika yang berhubungan dengan fungsi eksponensial. Mereka memberi tahu eksponen apa yang diperlukan untuk membuat angka tertentu, dan mereka adalah kebalikan dari eksponensial.

T: Bagaimana logaritma secara historis digunakan?

J: Logaritma secara historis berguna dalam mengalikan atau membagi bilangan besar.

T: Apa contoh dari logaritma?

J: Contoh logaritma adalah log₂(8)=3, di mana basisnya adalah 2, argumennya adalah 8 dan jawabannya adalah 3.

T: Apa arti contoh ini?

J: Contoh ini berarti bahwa dua pangkat tiga (2³) sama dengan delapan (2x2x2=8).

T: Apa saja jenis logaritma yang umum?

J: Beberapa jenis logaritma yang umum termasuk logaritma umum dengan basis 10, logaritma biner dengan basis 2, dan logaritma natural dengan basis e ≈ 2.71828.