Matriks (matematika)

Garis-garis horizontal dalam sebuah matriks disebut baris dan garis-garis vertikal disebut kolom. Sebuah matriks dengan m baris dan n kolom disebut matriks m x n (atau matriks m×n) dan m dan n disebut dimensinya.

Tempat-tempat di dalam matriks di mana bilangan-bilangan itu berada disebut entri-entri. Entri dari sebuah matriks A yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j disebut entri ke-i,j dari A. Ini ditulis sebagai A[i,j] atau a_i,j .

Kita tulis A := ( a i j ) m × n {\displaystyle A:=(a_{ij})_{m\times n}} untuk mendefinisikan sebuah matriks A berukuran m × n dengan setiap entri di dalam matriks disebut_i,j untuk semua 1 ≤ i ≤ m dan 1 ≤ j ≤ n.

Contoh

Matriks

[ 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 1 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\1&2&7\4&9&2\\6&1&5\end{bmatrix}}}}

adalah sebuah matriks 4×3. Matriks ini memiliki m = 4 baris, dan n = 3 kolom.

Elemen A[2,3] atau_2,3 adalah 7.

Penambahan

Jumlah dari dua matriks adalah matriks yang entri ke-(i,j)-nya sama dengan jumlah entri ke-(i,j)-nya dari dua matriks:

[ 1 3 2 1 0 0 1 2 2 ] + [ 0 0 5 7 5 0 2 1 1 ] = [ 1 + 0 3 + 0 2 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 1 + 2 2 + 1 2 + 1 ] = [ 1 3 7 8 5 0 3 3 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}

Kedua matriks tersebut memiliki dimensi yang sama. Di sini A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} adalah benar.

Perkalian dua matriks

Perkalian dua matriks sedikit lebih rumit:

[ a 1 a 2 a 3 a 4 ] ⋅ [ b 1 b 2 b 3 b 4 ] = [ ( a 1 ⋅ b 1 + a 2 ⋅ b 3 ) ( a 1 ⋅ b 2 + a 2 ⋅ b 4 ) ( a 3 ⋅ b 1 + a 4 ⋅ b 3 ) ( a 3 ⋅ b 2 + a 4 ⋅ b 4 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a1&a2\\a3&a4\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(a1\cdot b1+a2\cdot b3)&(a1\cdot b2+a2\cdot b4)\\(a3\cdot b1+a4\cdot b3)&(a3\cdot b2+a4\cdot b4)\\\end{bmatrix}}}}

Begitu juga dengan Angka:

[ 3 5 1 4 ] ⋅ [ 2 3 5 0 ] = [ ( 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5 ) ( 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 0 ) ( 1 ⋅ 2 + 4 ⋅ 5 ) ( 1 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 ) ] = [ 31 9 22 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&5\\1&4\\\\end{bmatrix}}}\cdot {\begin{bmatrix}2&3\\\5&0\\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(3\cdot 2+5\cdot 5)&(3\cdot 3+5\cdot 0)\\(1\cdot 2+4\cdot 5)&(1\cdot 3+4\cdot 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}31&9\\22&3\\\end{bmatrix}}}

• dua buah matriks dapat dikalikan satu sama lain meskipun memiliki dimensi yang berbeda, selama jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
• hasil perkalian, yang disebut hasil kali, adalah matriks lain dengan jumlah baris yang sama dengan matriks pertama dan jumlah kolom yang sama dengan matriks kedua.
• perkalian matriks tidak komutatif, yang berarti secara umum bahwa A ⋅ B ≠ B ⋅ A {\displaystyle A\cdot B\neq B\cdot A}
• perkalian matriks bersifat asosiatif, yang berarti bahwa ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) {\displaystyle (A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)}

Ada beberapa matriks yang istimewa.

Matriks persegi

Matriks bujur sangkar memiliki jumlah baris yang sama dengan jumlah kolom, jadi m = n.

Contoh dari matriks persegi adalah

[ 5 - 2 4 0 9 1 - 7 6 8 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}5&-2&4\\0&9&1\\-7&6&8\\\end{bmatrix}}}}

Matriks ini memiliki 3 baris dan 3 kolom: m=n=3.

Identitas

Setiap himpunan matriks berdimensi bujur sangkar memiliki pasangan khusus yang disebut "matriks identitas". Matriks identitas tidak memiliki apa-apa kecuali nol kecuali pada diagonal utama, di mana semuanya ada satu. Sebagai contoh:

[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}}

adalah sebuah matriks identitas. Ada tepat satu matriks identitas untuk setiap himpunan dimensi persegi. Matriks identitas adalah spesial karena ketika mengalikan matriks apapun dengan matriks identitas, hasilnya selalu matriks asli tanpa perubahan.

Matriks inversi

Matriks invers adalah matriks yang, ketika dikalikan dengan matriks lain, sama dengan matriks identitas. Sebagai contoh:

[ 7 8 6 7 ] ⋅ [ 7 - 8 - 6 7 ] = [ 1 0 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\\6&7\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}}={\begin{bmatrix}1&0\0\0&1\\\end{bmatrix}}}}

[ 7 - 8 - 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&-8\\-6&7\\\end{bmatrix}}} adalah invers dari [ 7 8 6 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}7&8\6&7\\\\end{bmatrix}}} .

Rumus untuk invers dari matriks 2x2, [ x y z v ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&v\end{bmatrix}}} adalah:

( 1 d e t ) [ v - y - z x ] {\displaystyle \left({\frac {1}{det}}\right){\begin{bmatrix}v&-y\\-z&x\end{bmatrix}}}}

Dimana d e t {\displaystyle det} adalah determinan dari matriks. Dalam matriks 2x2, determinan sama dengan:

x v - y z {\displaystyle {xv-yz}}

Matriks satu kolom

Sebuah matriks, yang memiliki banyak baris, tetapi hanya satu kolom, disebut vektor kolom.

Determinan mengambil sebuah matriks persegi dan menghitung sebuah angka sederhana, sebuah skalar. Untuk memahami apa arti angka ini, ambil setiap kolom matriks dan gambarkan sebagai vektor. Jajar genjang yang digambar oleh vektor-vektor tersebut memiliki luas, yang merupakan determinan. Untuk semua matriks 2x2, rumusnya sangat sederhana: det ( [ a b c d ] ) = a d - b c {\displaystyle \det \kiri({\begin{bmatrix}a&b\\\c&d\\\\end{bmatrix}}}\right)=ad-bc}

Untuk matriks 3x3 rumusnya lebih rumit: det ( [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] ) = a 1 ( b 2 c 3 - c 2 b 3 ) - a 2 ( b 1 c 3 - c 1 b 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 - c 1 b 2 ) {\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\\\end{bmatrix}}\right)=a_{1}(b_{2}c_{3}-c_{2}b_{3})-a_{2}(b_{1}c_{3}-c_{1}b_{3})+a_{3}(b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2})}

Tidak ada rumus sederhana untuk determinan matriks yang lebih besar, dan banyak pemrogram komputer mempelajari bagaimana membuat komputer dengan cepat menemukan determinan yang besar.

Sifat-sifat determinan

Ada tiga aturan yang diikuti oleh semua determinan. Ini adalah:

• Determinan dari sebuah matriks identitas adalah 1
• Jika dua baris atau dua kolom matriks dipertukarkan, maka determinan dikalikan dengan -1. Para matematikawan menyebutnya sebagai pergantian.
• Jika semua bilangan dalam satu baris atau kolom dikalikan dengan bilangan lain n, maka determinannya dikalikan dengan n. Juga, jika suatu matriks M mempunyai kolom v yang merupakan jumlah dari dua kolom matriks v 1 {\displaystyle v_{1}} dan v 2 {\displaystyle v_{2}} , maka determinan M adalah jumlah determinan M dengan v 1 {\displaystyle v_{1}} sebagai pengganti v dan M dengan v 2 {\displaystyle v_{2}} sebagai pengganti v. Kedua kondisi ini disebut multi-linearitas.

• Aljabar linear
• Aljabar linear numerik