Pembagian dengan nol

Dalam matematika, suatu bilangan tidak bisa dibagi dengan nol. Amati:

1. A ∗ B = C {\gaya tampilan A*B=C} $A*B=C$

Jika B = 0, maka C = 0. Ini benar. Tetapi:

2. A = C / B {\gaya tampilan A=C/B} $A=C/B$

(di mana B=0, jadi kita hanya membagi dengan nol)

Yang sama dengan:

3. A = 0 / 0 {\displaystyle A=0/0} $A=0/0$

Masalahnya adalah bahwa A {\displaystyle A} $A$ bisa berupa angka apa saja. Ini akan berhasil jika A {\displaystyle A} $A$ adalah 1 atau jika itu adalah 1.000.000.000. 0/0 dikatakan sebagai "bentuk tak tentu" untuk alasan ini, karena ia tidak memiliki nilai tunggal. Bilangan dari bentuk A/0, di sisi lain, di mana A {\displaystyle A} $A$ bukan 0, dikatakan "tidak terdefinisi", atau "tidak ditentukan". Ini karena setiap usaha untuk mendefinisikannya akan menghasilkan nilai tak terhingga, yang dengan sendirinya tidak terdefinisi. Biasanya ketika dua bilangan sama dengan hal yang sama, mereka sama satu sama lain. Itu tidak benar ketika hal yang sama dengan keduanya adalah 0/0. Ini berarti bahwa aturan normal matematika tidak berfungsi ketika angka dibagi dengan nol.

Bukti yang salah berdasarkan pembagian dengan nol

Adalah mungkin untuk menyamarkan kasus khusus dari pembagian dengan nol dalam argumen aljabar. Hal ini dapat menyebabkan bukti yang tidak valid, seperti 1=2, seperti berikut ini:

Dengan asumsi-asumsi berikut ini:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}0\kali 1&=0\0\kali 2&=0.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}0\times 1&=0\\0\times 2&=0.\end{aligned}}$

Hal berikut ini harus benar:

0 × 1 = 0 × 2. {\displaystyle 0\kali 1 = 0\kali 2.}. $0\times 1=0\times 2.\,$

Membagi dengan nol menghasilkan:

0 0 × 1 = 0 0 × 2. {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.} $\textstyle {\frac {0}{0}}\times 1={\frac {0}{0}}\times 2.$

Sederhanakan:

1 = 2. {\displaystyle 1=2.\,} $1=2.\,$

Kekeliruannya adalah asumsi bahwa membagi dengan 0 adalah operasi yang sah dengan 0/0 = 1.

Kebanyakan orang mungkin akan mengenali "bukti" di atas sebagai salah, tetapi argumen yang sama dapat disajikan dengan cara yang membuatnya lebih sulit untuk menemukan kesalahan. Sebagai contoh, jika 1 ditulis sebagai x, maka 0 dapat disembunyikan di belakang x-x dan 2 di belakang x+x. Bukti yang disebutkan di atas kemudian dapat ditampilkan sebagai berikut:

( x - x ) x = 0 ( x - x ) ( x + x ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}}} ${\begin{aligned}(x-x)x=0\\(x-x)(x+x)=0\end{aligned}}$

oleh karena itu:

( x - x ) x = ( x - x ) ( x + x ) . (x - x) x = (x - x) (x + x).}. $(x-x)x=(x-x)(x+x).\,$

Membagi dengan x - x memberikan:

x = x + x {\displaystyle x=x+x\,} $x=x+x\,$

dan membagi dengan x memberikan:

1 = 2. {\displaystyle 1 = 2.\,} $1=2.\,$

"Bukti" di atas tidak benar karena ia membagi dengan nol ketika ia membagi dengan x-x, karena setiap bilangan yang dikurangi dirinya sendiri adalah nol.

Kalkulus

Dalam kalkulus, "bentuk-bentuk tak tentu" di atas juga muncul sebagai hasil dari substitusi langsung saat mengevaluasi limit.

Pembagian dengan nol dalam komputer

Jika sebuah program komputer mencoba membagi sebuah bilangan bulat dengan nol, sistem operasi biasanya akan mendeteksi hal ini dan menghentikan program. Biasanya sistem operasi akan mencetak "pesan kesalahan", atau memberikan saran kepada programmer tentang cara memperbaiki program^[] . Pembagian dengan nol adalah bug yang umum dalam pemrograman komputer. Membagi angka floating point (desimal) dengan nol biasanya akan menghasilkan nilai tak terhingga atau nilai NaN (bukan angka) khusus, tergantung pada apa yang dibagi dengan nol.

Pembagian dengan nol dalam geometri

Dalam geometri 1 0 = ∞ . {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}=\infty . } $\textstyle {\frac {1}{0}}=\infty .$ Ketidakterbatasan ini (ketidakterbatasan proyektif) bukanlah bilangan positif atau negatif, sama seperti nol bukanlah bilangan positif atau negatif

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa hasil dari membagi sebuah angka dengan nol?

J: Membagi sebuah bilangan dengan nol akan menghasilkan "undefined" atau "bentuk tak tentu", yang berarti bahwa bilangan tersebut tidak memiliki nilai tunggal.

T: Apa arti 0/0?

J: 0/0 dikatakan "bentuk tak tentu" karena tidak memiliki nilai tunggal.

T: Apa yang terjadi apabila dua bilangan sama dengan hal yang sama, tetapi hal itu adalah 0/0?

J: Aturan normal matematika tidak bekerja ketika bilangan dibagi dengan nol, sehingga kedua bilangan tidak akan sama satu sama lain.

T: Benarkah setiap usaha untuk mendefinisikan bilangan dalam bentuk A/0 akan menghasilkan nilai tak terhingga?

J: Ya, setiap usaha untuk mendefinisikan bilangan dalam bentuk A/0 (di mana A bukan 0) akan menghasilkan nilai tak terhingga, yang dengan sendirinya tidak terdefinisi.

T: Bagaimana kita bisa menentukan apakah dua bilangan sama satu sama lain?

J: Kita bisa menentukan apakah dua bilangan sama satu sama lain dengan melihat apakah keduanya sama dengan hal yang sama. Biasanya ini berhasil, namun ini tidak berlaku ketika kedua angka sama dengan 0/0.

T: Apakah ada pengecualian ketika kita tidak bisa membagi suatu bilangan dengan nol? J: Ya, dalam matematika, tidak mungkin membagi bilangan dengan nol.