Fungsi (matematika)

Tabel

Input dan output bisa dimasukkan ke dalam tabel seperti gambar; ini mudah jika datanya tidak terlalu banyak.

Grafik

Pada gambar terlihat bahwa 2 dan 3 telah dipasangkan dengan c; hal ini tidak diperbolehkan pada arah yang lain, 2 tidak bisa mengeluarkan c dan d, setiap input hanya bisa memiliki satu output. Semua f ( x ) {\displaystyle f(x)} (c dan d pada gambar) biasanya disebut himpunan gambar dari f {\displaystyle f} dan himpunan gambar bisa semua kodomain atau tidak. Seseorang dapat mengatakan bahwa subhimpunan A dari kodomain dengan himpunan gambar adalah f(A). Jika input dan output memiliki urutan, maka mudah untuk memplotnya pada grafik: Dengan cara itu gambar datang pada gambar himpunan A. Hal ini akan membuat kedua 2 dan 3 telah berpasangan dengan tidak diperbolehkan dalam arah yang lain, bahkan seseorang dapat membuat antara kodomain atau tidak. Dapat disimpulkan bahwa subhimpunan A dari kodomain adalah himpunan image yaitu F(A).

Pada tahun 1690-an Gottfried Leibniz dan Johann Bernoulli menggunakan kata fungsi dalam huruf-huruf di antara mereka sehingga konsep modern dimulai pada saat yang sama dengan kalkulus.

Pada tahun 1748 Leonhard Euler memberikan: "Fungsi dari kuantitas variabel adalah ekspresi analitik yang tersusun dengan cara apa pun dari kuantitas variabel dan angka atau kuantitas konstan." dan kemudian pada tahun 1755: "Jika beberapa kuantitas sangat bergantung pada kuantitas lain sehingga jika kuantitas yang terakhir diubah, kuantitas yang pertama mengalami perubahan, maka kuantitas yang pertama disebut fungsi dari kuantitas yang terakhir. Definisi ini berlaku agak luas dan mencakup semua cara di mana satu kuantitas dapat ditentukan oleh kuantitas lainnya. Jika, oleh karena itu, x menunjukkan kuantitas variabel, maka semua kuantitas yang bergantung pada x dengan cara apa pun, atau ditentukan olehnya, disebut fungsi dari x." yang sangat modern.

Biasanya, Dirichlet dikreditkan dengan versi yang digunakan di sekolah-sekolah sampai paruh kedua abad ke-20: "y adalah fungsi dari variabel x, yang didefinisikan pada interval a < x < b, jika untuk setiap nilai variabel x dalam interval ini terdapat nilai pasti dari variabel y. Juga, tidak relevan dengan cara apa korespondensi ini ditetapkan."

Pada tahun 1939, Bourbaki menggeneralisasi definisi Dirichlet dan memberikan versi teori himpunan dari definisi sebagai korespondensi antara input dan output; ini digunakan di sekolah-sekolah dari sekitar tahun 1960.

Akhirnya pada tahun 1970, Bourbaki memberikan definisi modern sebagai triple f = ( X , Y , F ) {\displaystyle f=(X,Y,F)} , dengan F ⊂ X × Y , ( x , f ( x ) ) ∈ F {\displaystyle F\subset X\kali Y,(x,f(x))\dalam F} (yaitu f : X → Y {\displaystyle f:X\ke Y} dan F = { ( x , f ( x ) ) | x ∈ X , f ( x ) ∈ Y } {\displaystyle F=\{(x, f ( x))| x\di X, f ( x ) \di Y\}}. ).

• Fungsi dasar - Fungsi-fungsi yang biasanya dipelajari di sekolah: pecahan, akar kuadrat, fungsi sinus, kosinus dan tangen, dan beberapa fungsi lainnya.
• Fungsi non-elementer - Kebanyakan dari mereka tidak menggunakan operasi yang tidak kita pelajari di sekolah (seperti + atau -, atau pangkat). Banyak integral yang bukan elementer.
• Fungsi invers - Fungsi yang membatalkan fungsi lain. Contohnya: jika F(x) adalah invers dari f(x)=y, maka F(y)=x. Tidak semua fungsi memiliki invers.
• Fungsi-fungsi khusus: Fungsi yang memiliki nama. Misalnya: sinus, kosinus dan tangen. Fungsi seperti f(x)=3x (tiga kali x) tidak disebut fungsi khusus. Mereka bisa berupa fungsi elementer, non-elementer atau invers.