Integral

Antiderivatif

Dengan teorema fundamental kalkulus, integral adalah antiderivatif.

Jika kita mengambil fungsi 2 x {\displaystyle 2x} , misalnya, dan anti-diferensiasi, kita dapat mengatakan bahwa integral dari 2 x {\displaystyle 2x} adalah x 2 {\displaystyle x^{2}}. . Kita mengatakan integral, bukan integral, karena antiderivatif dari suatu fungsi tidak unik. Misalnya, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} juga berdiferensiasi menjadi 2 x {\displaystyle 2x} . Karena itu, ketika mengambil antiderivatif, sebuah konstanta C harus ditambahkan. Ini disebut integral tak tentu. Hal ini karena ketika mencari turunan dari suatu fungsi, konstanta sama dengan 0, seperti pada fungsi

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} . Perhatikan 0: kita tidak dapat menemukannya jika kita hanya memiliki turunannya saja, sehingga integralnya adalah

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} .

Persamaan Sederhana

Persamaan sederhana seperti y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} dapat diintegrasikan terhadap x dengan menggunakan teknik berikut. Untuk mengintegrasikan, Anda menambahkan 1 ke pangkat x yang dipangkatkan, dan kemudian membagi x dengan nilai pangkat baru ini. Oleh karena itu, integrasi persamaan normal mengikuti aturan berikut: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}}+C}

D x {\displaystyle dx} di akhir adalah apa yang menunjukkan bahwa kita mengintegrasikan sehubungan dengan x, yaitu, saat x berubah. Ini dapat dilihat sebagai kebalikan dari diferensiasi. Namun, ada konstanta, C, yang ditambahkan ketika Anda mengintegrasikan. Ini disebut konstanta integrasi. Ini diperlukan karena mendiferensiasikan bilangan bulat menghasilkan nol, oleh karena itu mengintegrasikan nol (yang dapat diletakkan di ujung integrand apa pun) menghasilkan bilangan bulat, C. Nilai bilangan bulat ini akan ditemukan dengan menggunakan kondisi yang diberikan.

Persamaan-persamaan dengan lebih dari satu suku hanya diintegrasikan dengan mengintegrasikan masing-masing suku:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\,}x^{{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}{2}}}-2x+C}

Integrasi yang melibatkan e dan ln

Ada aturan-aturan tertentu untuk mengintegrasikan menggunakan e dan logaritma natural. Yang paling penting, e x {\displaystyle e^{x}} adalah integral dari dirinya sendiri (dengan penambahan konstanta integrasi): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{{\,}e^{x}dx=e^{x}+C}

Logaritma natural, ln, berguna ketika mengintegrasikan persamaan dengan 1 / x {\displaystyle 1/x} . Ini tidak dapat diintegrasikan dengan menggunakan rumus di atas (tambahkan satu pangkat, bagi dengan pangkat), karena menambahkan satu pangkat menghasilkan 0, dan pembagian dengan 0 tidak mungkin dilakukan. Sebagai gantinya, integral dari 1 / x {\displaystyle 1/x} adalah ln x {\displaystyle \ln x} : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x + C}

Dalam bentuk yang lebih umum: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C}

Dua batang vertikal menunjukkan nilai absolut; tanda (positif atau negatif) dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} diabaikan. Ini karena tidak ada nilai untuk logaritma natural dari bilangan negatif.

Jumlah fungsi

Integral dari jumlah fungsi adalah jumlah dari integral setiap fungsi. yaitu,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} .

Bukti dari hal ini sangat mudah: Definisi integral adalah limit dari penjumlahan. Dengan demikian

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\kiri(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\kanan)}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})}

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx}

Perhatikan bahwa kedua integral memiliki limit yang sama.

Konstanta dalam integrasi

Ketika sebuah konstanta berada dalam integral dengan fungsi, konstanta tersebut dapat dikeluarkan. Selanjutnya, ketika konstanta c tidak disertai dengan fungsi, nilainya adalah c * x. Artinya,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} dan

Ini hanya bisa dilakukan dengan konstanta.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)}

Pembuktiannya lagi-lagi dengan definisi integral.

Lainnya

Jika a, b, dan c berurutan (yaitu setelah satu sama lain pada sumbu x), integral f(x) dari titik a ke titik b ditambah integral f(x) dari titik b ke c sama dengan integral dari titik a ke c. Artinya,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} jika mereka berurutan. (Hal ini juga berlaku jika a, b, c tidak berurutan jika kita mendefinisikan ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} . Ini mengikuti teorema fundamental kalkulus (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} Sekali lagi, mengikuti FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F ( b ) - F ( a ) =-[F ( a ) - F ( b )]}