Integral

Dalam kalkulus, integral adalah ruang di bawah grafik persamaan (kadang-kadang dikatakan sebagai "area di bawah kurva"). Integral adalah kebalikan dari turunan dan merupakan kebalikan dari kalkulus diferensial. Turunan adalah kecuraman (atau "kemiringan"), sebagai laju perubahan, dari suatu kurva. Kata "integral" juga dapat digunakan sebagai kata sifat yang berarti "terkait dengan bilangan bulat".

Simbol untuk integrasi, dalam kalkulus, adalah: ∫ {\displaystyle \int _{\,}^{\,}} $\int _{\,}^{\,}$ sebagai huruf tinggi "S". Simbol ini pertama kali digunakan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz, yang menggunakannya sebagai "ſ" yang bergaya (untuk summa, bahasa Latin untuk penjumlahan) untuk mengartikan penjumlahan area yang tercakup dalam suatu persamaan, seperti y = f(x).

Integral dan derivatif adalah bagian dari cabang matematika yang disebut kalkulus. Hubungan antara keduanya sangat penting, dan disebut Teorema Fundamental Kalkulus. Teorema ini mengatakan bahwa integral dapat dibalik oleh turunan, mirip dengan bagaimana penjumlahan dapat dibalik oleh pengurangan.

Integrasi membantu saat mencoba mengalikan unit ke dalam masalah. Misalnya, jika soal dengan laju, ( jarak waktu ) {\displaystyle \left({\frac {\text{jarak}} {\text{waktu}}}}}}}}}}}}}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)$ , membutuhkan jawaban hanya dengan jarak, salah satu solusinya adalah dengan mengintegrasikan sehubungan dengan waktu. Ini berarti mengalikan waktu untuk membatalkan waktu dalam (jarak waktu) × waktu {\displaystyle \left({\frac {\text{jarak}}{\text{waktu}}}}}}} $\left({\frac {\text{distance}}{\text{time}}}\right)\times {\text{time}}$ . Hal ini dilakukan dengan menambahkan irisan-irisan kecil dari grafik laju bersama-sama. Irisan-irisan tersebut lebarnya mendekati nol, tetapi dengan menambahkannya selamanya akan membuat irisan-irisan tersebut menjadi satu kesatuan. Ini disebut Riemann Sum.

Menjumlahkan irisan-irisan ini bersama-sama menghasilkan persamaan yang merupakan turunan dari persamaan pertama. Integral seperti cara untuk menambahkan banyak hal kecil bersama-sama dengan tangan. Ini seperti penjumlahan, yaitu menambahkan 1 + 2 + 3 + 4.... + n {\displaystyle 1+2+3+4....+n} $1+2+3+4....+n$ . Perbedaannya dengan integrasi adalah kita juga harus menambahkan semua desimal dan pecahan di antaranya.

Waktu lain integrasi sangat membantu adalah ketika menemukan volume suatu padatan. Integrasi waktu dapat menambahkan irisan dua dimensi (tanpa lebar) dari benda padat bersama-sama selamanya sampai ada lebarnya. Ini berarti objek sekarang memiliki tiga dimensi: dua dimensi asli dan lebar. Ini memberikan volume dari objek tiga dimensi yang dijelaskan.

Integrasi adalah tentang menemukan permukaan s, mengingat a, b dan y = f(x). Rumus untuk integral dari a ke b, yang digambarkan di atas, adalah:
Rumus: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

Apa itu integral (animasi)

Metode Integrasi

Antiderivatif

Dengan teorema fundamental kalkulus, integral adalah antiderivatif.

Jika kita mengambil fungsi 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ , misalnya, dan anti-diferensiasi, kita dapat mengatakan bahwa integral dari 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ adalah x 2 {\displaystyle x^{2}}. $x^{2}$ . Kita mengatakan integral, bukan integral, karena antiderivatif dari suatu fungsi tidak unik. Misalnya, x 2 + 17 {\displaystyle x^{2}+17} $x^{2}+17$ juga berdiferensiasi menjadi 2 x {\displaystyle 2x} $2x$ . Karena itu, ketika mengambil antiderivatif, sebuah konstanta C harus ditambahkan. Ini disebut integral tak tentu. Hal ini karena ketika mencari turunan dari suatu fungsi, konstanta sama dengan 0, seperti pada fungsi

f ( x ) = 5 x 2 + 9 x + 15 {\displaystyle f(x)=5x^{2}+9x+15\,} $f(x)=5x^{2}+9x+15\,$ .

f ′ ( x ) = 10 x + 9 + 0 {\displaystyle f'(x)=10x+9+0\,} $f'(x)=10x+9+0\,$ . Perhatikan 0: kita tidak dapat menemukannya jika kita hanya memiliki turunannya saja, sehingga integralnya adalah

∫ ( 10 x + 9 ) d x = 5 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C} $\int (10x+9)\,dx=5x^{2}+9x+C$ .

Persamaan Sederhana

Persamaan sederhana seperti y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} $y=x^{2}$ dapat diintegrasikan terhadap x dengan menggunakan teknik berikut. Untuk mengintegrasikan, Anda menambahkan 1 ke pangkat x yang dipangkatkan, dan kemudian membagi x dengan nilai pangkat baru ini. Oleh karena itu, integrasi persamaan normal mengikuti aturan berikut: ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}}+C} $\int _{\,}^{\,}x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$

D x {\displaystyle dx} $dx$ di akhir adalah apa yang menunjukkan bahwa kita mengintegrasikan sehubungan dengan x, yaitu, saat x berubah. Ini dapat dilihat sebagai kebalikan dari diferensiasi. Namun, ada konstanta, C, yang ditambahkan ketika Anda mengintegrasikan. Ini disebut konstanta integrasi. Ini diperlukan karena mendiferensiasikan bilangan bulat menghasilkan nol, oleh karena itu mengintegrasikan nol (yang dapat diletakkan di ujung integrand apa pun) menghasilkan bilangan bulat, C. Nilai bilangan bulat ini akan ditemukan dengan menggunakan kondisi yang diberikan.

Persamaan-persamaan dengan lebih dari satu suku hanya diintegrasikan dengan mengintegrasikan masing-masing suku:

∫ x 2 + 3 x - 2 d x = ∫ x 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 2 d x = x 3 3 + 3 x 2 2 - 2 x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\\,}x^{{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {3x^{2}}{2}}}-2x+C} $\int _{\,}^{\,}x^{2}+3x-2dx=\int _{\,}^{\,}x^{2}dx+\int _{\,}^{\,}3xdx-\int _{\,}^{\,}2dx={\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-2x+C$

Integrasi yang melibatkan e dan ln

Ada aturan-aturan tertentu untuk mengintegrasikan menggunakan e dan logaritma natural. Yang paling penting, e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ adalah integral dari dirinya sendiri (dengan penambahan konstanta integrasi): ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int _{\,}^{{\,}e^{x}dx=e^{x}+C} $\int _{\,}^{\,}e^{x}dx=e^{x}+C$

Logaritma natural, ln, berguna ketika mengintegrasikan persamaan dengan 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ . Ini tidak dapat diintegrasikan dengan menggunakan rumus di atas (tambahkan satu pangkat, bagi dengan pangkat), karena menambahkan satu pangkat menghasilkan 0, dan pembagian dengan 0 tidak mungkin dilakukan. Sebagai gantinya, integral dari 1 / x {\displaystyle 1/x} $1/x$ adalah ln x {\displaystyle \ln x} $\ln x$ : ∫ 1 x d x = ln x + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}}dx=\ln x + C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {1}{x}}dx=\ln x+C$

Dalam bentuk yang lebih umum: ∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln | f ( x ) | + C {\displaystyle \int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C} $\int _{\,}^{\,}{\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\ln {|f(x)|}+C$

Dua batang vertikal menunjukkan nilai absolut; tanda (positif atau negatif) dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} f(x) diabaikan. Ini karena tidak ada nilai untuk logaritma natural dari bilangan negatif.

Properti

Jumlah fungsi

Integral dari jumlah fungsi adalah jumlah dari integral setiap fungsi. yaitu,

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$ .

Bukti dari hal ini sangat mudah: Definisi integral adalah limit dari penjumlahan. Dengan demikian

∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = lim n → ∞ ∑ i = 1 n ( f ( x i ∗ ) + g ( x i ∗ ) ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\kiri(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\kanan)} $\int \limits _{a}^{b}[f(x)+g(x)]\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\left(f(x_{i}^{*})+g(x_{i}^{*})\right)$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= lim n → ∞ ∑ i = 1 n f ( x i ∗ ) + lim n → ∞ ∑ i = 1 n g ( x i ∗ ) {\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})} $=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}g(x_{i}^{*})$

= ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle =\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx} $=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$

Perhatikan bahwa kedua integral memiliki limit yang sama.

Konstanta dalam integrasi

Ketika sebuah konstanta berada dalam integral dengan fungsi, konstanta tersebut dapat dikeluarkan. Selanjutnya, ketika konstanta c tidak disertai dengan fungsi, nilainya adalah c * x. Artinya,

∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}cf(x)\,dx=c\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ dan

Ini hanya bisa dilakukan dengan konstanta.

∫ a b c d x = c ( b - a ) {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)} $\int \limits _{a}^{b}c\,dx=c(b-a)$

Pembuktiannya lagi-lagi dengan definisi integral.

Lainnya

Jika a, b, dan c berurutan (yaitu setelah satu sama lain pada sumbu x), integral f(x) dari titik a ke titik b ditambah integral f(x) dari titik b ke c sama dengan integral dari titik a ke c. Artinya,

∫ a b f ( x ) d x + ∫ b c f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx$ jika mereka berurutan. (Hal ini juga berlaku jika a, b, c tidak berurutan jika kita mendefinisikan ∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ .)

∫ a a f ( x ) d x = 0 {\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0} $\int \limits _{a}^{a}f(x)\,dx=0$ . Ini mengikuti teorema fundamental kalkulus (FTC): F(a)-F(a)=0

∫ a b f ( x ) d x = - ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx} $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)\,dx$ Sekali lagi, mengikuti FTC: F ( b ) - F ( a ) = - [ F ( a ) - F ( b ) ] {\displaystyle F ( b ) - F ( a ) =-[F ( a ) - F ( b )]} $F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]$

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan integral?

J: Integral adalah ruang di bawah grafik persamaan, juga dikenal sebagai "area di bawah kurva". Ini adalah kebalikan dari turunan dan merupakan bagian dari cabang matematika yang disebut kalkulus.

T: Seperti apa simbol untuk integrasi?

J: Simbol untuk integrasi dalam kalkulus terlihat seperti huruf "S" yang tinggi: ∫ {\displaystyle \textstyle \int _{\,}^{\,}}.

T: Bagaimana hubungan antara integral dan turunan?

J: Integral dan turunan dihubungkan oleh teorema dasar kalkulus yang menyatakan bahwa integral dapat dibalik dengan turunan, mirip dengan bagaimana penjumlahan dapat dibalik dengan pengurangan.

T: Kapan seseorang dapat menggunakan integrasi?

A: Integrasi dapat digunakan ketika mencoba mengalikan satuan ke dalam suatu masalah atau ketika mencari volume benda padat. Integrasi membantu menambahkan irisan dua dimensi menjadi satu sampai ada lebarnya, memberikan objek tiga dimensi dan volumenya.

T: Bagaimana integrasi mirip dengan penjumlahan?

A: Integrasi mirip dengan penjumlahan karena ia menambahkan banyak hal kecil secara bersamaan, tetapi dengan integrasi kita harus menambahkan semua desimal dan pecahan di antaranya.

T: Apa yang dimaksud dengan jumlah Riemann?

J: Jumlah Riemann mengacu pada penambahan irisan kecil dari grafik laju bersama-sama sampai mereka menambahkan hingga membentuk satu persamaan utuh.