Antiderivatif

Untuk melakukan integrasi a x n {\displaystyle ax^{n}}

• Tambahkan 1 ke pangkat n {\displaystyle n} , sehingga a x n {\displaystyle ax^{n}} sekarang menjadi a x n + 1 {\displaystyle ax^{n+1}}
• Bagilah semua ini dengan pangkat baru, sehingga sekarang menjadi x n + 1 n + 1 {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}}}
• Tambahkan konstanta c {\displaystyle c} , sehingga sekarang menjadi x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle {\frac {ax^{n+1}}{n+1}}}+c}

Hal ini bisa ditunjukkan sebagai:

∫ a x n d x = a x n + 1 n + 1 + c {\displaystyle \int ax^{n}\ dx={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+c}

Bila terdapat banyak x {\displaystyle x} suku, integrasikan setiap bagiannya sendiri-sendiri:

∫ 2 x 6 - 5 x 4 d x = 2 x 7 7 - 5 x 5 5 + c = 2 7 x 7 - x 5 + c {\displaystyle \int 2x^{6}-5x^{{4}}\ dx={\frac {2x^{7}}}{7}}-{\frac {5x^{{5}}{5}}}+c={\frac {2}{7}}x^{7}-x^{5}}+c}

(Ini hanya berfungsi jika bagiannya ditambahkan atau diambil).

Contoh

∫ 3 x 4 d x = 3 x 5 5 + c {\displaystyle \int 3x^{{4}\ dx={\frac {3x^{5}}{5}}}+c}

∫ x + x 2 + x 3 + x 4 d x = x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + x 5 5 + c {\displaystyle \int x+x^{2}+x^{{3}+x^{4}\ dx={\frac {x^{2}}}{2}+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {x^{4}}}{4}}}+{\frac {x^{5}}{5}}+c}

∫ 1 x + 4 d x = ln | x + 4 | × 1 + c = ln | x + 4 | + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x+4}}}\ dx = ln | x + 4 | | × 1 + c = ln | x + 4| + c}

Mengubah pecahan dan akar menjadi pangkat membuatnya lebih mudah:

∫ 1 x 3 d x = ∫ x - 3 d x = x - 2 - 2 + c = - 1 2 x 2 + c {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{{3}}}}}\ dx=\int x^{-3}}\ dx={\frac {x^{-2}}{-2}}}+c=-{\frac {1}{2x^{2}}}}+c}

∫ x 3 d x = ∫ x 3 2 d x = x 5 2 5 2 + c = 2 5 x 5 2 + c = 2 5 x 5 + c {\displaystyle \int {\sqrt {x^{3}}}}\ dx=\int x^{\frac {3}{{2}}}\ dx={\frac {x^{\frac {5}{{2}}}}{\frac {5}{{2}}}}}{\frac {5}{{2}}}}x^{\frac {5}{2}}}}{\sqrt {x^{5}}}}+c}

Jika anda ingin mengintegrasikan sebuah braket seperti ( 2 x + 4 ) 3 {\displaystyle (2x+4)^{3}}. kita perlu melakukannya dengan cara yang berbeda. Ini disebut aturan rantai. Ini seperti integrasi sederhana. Ini hanya bekerja jika x {\displaystyle x} di dalam braket memiliki pangkat 1 (linear) seperti x {\displaystyle x} atau 5 x {\displaystyle 5x} (bukan x 5 {\displaystyle x^{{5}} atau x - 7 {\displaystyle x^{-7}} ).

Untuk melakukan ∫ ( 2 x + 4 ) 3 d x {\displaystyle \int (2x+4)^{3}\ dx}

• Tambahkan 1 pangkat 3 {\displaystyle 3} , sehingga sekarang ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle (2x+4)^{4}}
• Bagilah semua ini dengan pangkat baru untuk mendapatkan ( 2 x + 4 ) 4 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4}}}}}
• Bagilah semua ini dengan turunan dari braket ( d ( 2 x + 4 ) d x = 2 ) {\displaystyle \kiri({\frac {d(2x+4)}{dx}}=2\kanan)} untuk mendapatkan ( 2 x + 4 ) 4 4 × 2 = 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 {\displaystyle {\frac {(2x+4)^{4}}{4\kali 2}}={\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}}}
• Tambahkan konstanta c {\displaystyle c} untuk memberikan 1 8 ( 2 x + 4 ) 4 + c {\displaystyle {\frac {1}{8}}(2x+4)^{4}+c}

Contoh

∫ ( x + 1 ) 5 d x = ( x + 1 ) 6 6 × 1 + c = 1 6 ( x + 1 ) 6 + c ( ∵ d ( x + 1 ) d x = 1 ) {\displaystyle \int (x+1)^{5}\ dx={\frac {(x+1)^{6}}{6\kali 1}}+c={\frac {1}{6}}(x+1)^{6}+c\kiri(\karena {\frac {d(x+1)}{dx}}=1\kanan)}

∫ 1 ( 7 x + 12 ) 9 d x = ∫ ( 7 x + 12 ) - 9 d x = ( 7 x + 12 ) - 8 - 8 × 7 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) - 8 + c = - 1 56 ( 7 x + 12 ) 8 + c ( ∵ d ( 7 x + 12 ) d x = 7 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{(7x + 12)^{9}}}}\ dx=\int (7x + 12)^{-9}\ dx={\frac {(7x+12)^{-8}}{-8\kali 7}}+c=-{\frac {1}{56}}(7x+12)^{-8}}+c=-{\frac {1}{56(7x+12)^{8}}}+c\kiri(\karena {\frac {d(7x+12)}{dx}}=7\kanan)}

• Matematika
• Integral