Persamaan aljabar
Dalam matematika, sebuah persamaan aljabar, juga disebut persamaan polinomial atas lapangan tertentu adalah sebuah persamaan dari bentuk
P = Q {\displaystyle P=Q} 
dimana P dan Q adalah polinomial atas lapangan tersebut, dan memiliki satu (univariat) atau lebih dari satu (multivariat) variabel. Sebagai contoh:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 {\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}}{3}}}-xy^{{2}}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}} 
adalah persamaan aljabar atas bilangan rasional.
Dua persamaan disebut ekuivalen jika keduanya memiliki himpunan solusi yang sama. Ini berarti bahwa semua solusi dari persamaan kedua juga harus merupakan solusi dari persamaan pertama dan sebaliknya. Persamaan P = Q {\displaystyle P=Q} ekuivalen dengan P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Jadi studi tentang persamaan aljabar ekuivalen dengan studi tentang polinomial.
Jika persamaan aljabar berada di atas rasional, persamaan itu selalu dapat dikonversi ke persamaan yang setara, di mana semua koefisiennya adalah bilangan bulat. Misalnya, dalam persamaan yang diberikan di atas, kita mengalikan dengan 42 = 2-3-7 dan mengelompokkan suku-suku pada anggota pertama. Persamaan tersebut diubah menjadi
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\displaystyle 42y^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{{2}-42y^{2}+6=0} 
Solusi dari suatu persamaan adalah nilai-nilai variabel yang mana persamaan itu benar. Tetapi untuk persamaan aljabar ada juga yang disebut akar. Ketika menyelesaikan suatu persamaan, kita perlu mengatakan di himpunan mana solusi diperbolehkan. Misalnya, untuk persamaan atas rasional, kita dapat menemukan solusi dalam bilangan bulat. Maka, persamaan tersebut adalah persamaan diophantine. Seseorang juga dapat mencari solusi dalam bidang bilangan kompleks. Seseorang juga dapat mencari solusi dalam bilangan real.
Para matematikawan kuno menginginkan solusi persamaan univariat (yaitu, persamaan dengan satu variabel) dalam bentuk ekspresi radikal, seperti x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}}}{2}}}}
untuk solusi positif x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Orang Mesir kuno tahu bagaimana menyelesaikan persamaan derajat 2 (yaitu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2) dengan cara ini. Selama masa Renaissance, Gerolamo Cardano menyelesaikan persamaan derajat 3 dan Lodovico Ferrari menyelesaikan persamaan derajat 4. Akhirnya Niels Henrik Abel membuktikan pada tahun 1824 bahwa persamaan derajat 5 dan persamaan-persamaan derajat yang lebih tinggi tidak selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal. Teori Galois, yang dinamai dari Évariste Galois, diperkenalkan untuk memberikan kriteria yang menentukan apakah suatu persamaan dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal.
Pertanyaan dan Jawaban
T: Apa yang dimaksud dengan persamaan aljabar?
J: Sebuah persamaan aljabar adalah sebuah persamaan dalam bentuk P = Q, dimana P dan Q adalah polinomial atas lapangan tertentu dengan satu atau lebih variabel.
T: Bagaimana dua persamaan bisa ekuivalen?
J: Dua persamaan dianggap ekuivalen jika keduanya memiliki himpunan solusi yang sama, yang berarti semua solusi yang satu juga harus merupakan solusi yang lain dan sebaliknya.
T: Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan suatu persamaan?
J: Menyelesaikan suatu persamaan berarti menemukan nilai-nilai variabel yang membuat persamaan itu benar. Nilai-nilai ini disebut akar.
T: Dapatkah persamaan aljabar atas bilangan rasional selalu diubah menjadi persamaan dengan koefisien bilangan bulat?
J: Ya, dengan mengalikan kedua sisi dengan angka seperti 42 = 2-3-7 dan mengelompokkan suku-suku pada anggota pertama, setiap persamaan aljabar atas bilangan rasional dapat diubah menjadi persamaan dengan koefisien bilangan bulat.
T: Kapan matematikawan kuno menginginkan ekspresi radikal untuk persamaan univariat?
J: Matematikawan kuno menginginkan ekspresi radikal (seperti x = 1 + √5/2) untuk persamaan univariat (persamaan dengan satu variabel) selama periode Renaissance.
T: Siapa yang memecahkan persamaan derajat 3 dan 4 selama masa ini?
J: Gerolamo Cardano memecahkan persamaan derajat 3 dan Lodovico Ferrari memecahkan persamaan derajat 4 selama masa ini.
T: Siapa yang membuktikan bahwa persamaan derajat yang lebih tinggi tidak selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal?
J: Niels Henrik Abel membuktikan pada tahun 1824 bahwa persamaan derajat tinggi tidak selalu dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal.
