Persamaan Schrödinger

Pengarang: Leandro Alegsa Tanggal pembuatan: 18 Mei 2022

Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial (jenis persamaan yang melibatkan fungsi yang tidak diketahui, bukan angka yang tidak diketahui) yang membentuk dasar mekanika kuantum, salah satu teori yang paling akurat tentang bagaimana partikel subatomik berperilaku. Ini adalah persamaan matematika yang dipikirkan oleh Erwin Schrödinger pada tahun 1925. Persamaan ini mendefinisikan fungsi gelombang dari sebuah partikel atau sistem (kelompok partikel) yang memiliki nilai tertentu di setiap titik dalam ruang untuk setiap waktu tertentu. Nilai-nilai ini tidak memiliki makna fisik (pada kenyataannya, mereka secara matematis kompleks), namun fungsi gelombang mengandung semua informasi yang dapat diketahui tentang partikel atau sistem. Informasi ini dapat ditemukan dengan memanipulasi fungsi gelombang secara matematis untuk mengembalikan nilai-nilai nyata yang berkaitan dengan sifat-sifat fisik seperti posisi, momentum, energi, dll. Fungsi gelombang dapat dianggap sebagai gambaran tentang bagaimana partikel atau sistem ini bertindak dengan waktu dan menggambarkannya selengkap mungkin.

Fungsi gelombang dapat berada dalam sejumlah keadaan yang berbeda sekaligus, sehingga sebuah partikel mungkin memiliki banyak posisi, energi, kecepatan atau sifat fisik lainnya yang berbeda pada saat yang sama (yaitu "berada di dua tempat sekaligus"). Namun, ketika salah satu dari sifat-sifat ini diukur, ia hanya memiliki satu nilai spesifik (yang tidak dapat diprediksi secara pasti), dan oleh karena itu fungsi gelombang hanya dalam satu keadaan tertentu. Ini disebut keruntuhan fungsi gelombang dan tampaknya disebabkan oleh tindakan pengamatan atau pengukuran. Penyebab pasti dan interpretasi keruntuhan fungsi gelombang masih diperdebatkan secara luas dalam komunitas ilmiah.

Untuk satu partikel yang hanya bergerak dalam satu arah di ruang angkasa, persamaan Schrödinger terlihat seperti:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}\Psi ( x , t ) + V ( x )\Psi ( x , t ) = i \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ( x , t ) } $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

dimana i {\displaystyle i} $i$ adalah akar kuadrat dari -1, ℏ {\displaystyle \hbar } $\hbar$ adalah konstanta Planck yang tereduksi, t {\displaystyle t} $t$ adalah waktu, x {\displaystyle x} adalah posisi, Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ adalah fungsi gelombang, dan V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ adalah energi potensial, suatu fungsi posisi yang belum dipilih. Sisi kiri setara dengan operator energi Hamiltonian yang bekerja pada Ψ {\displaystyle \Psi } $\Psi$ .

Patung Erwin Schrödinger, di Universitas Wina. Ini juga menunjukkan persamaan Schrödinger.

Versi Waktu independen

Dengan mengasumsikan bahwa fungsi gelombang, Ψ ( x, t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ , dapat dipisahkan, yaitu dengan mengasumsikan fungsi dua variabel dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua fungsi yang berbeda dari satu variabel:

Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x, t)=\psi (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

kemudian, dengan menggunakan teknik matematika standar dari persamaan diferensial parsial, dapat ditunjukkan bahwa persamaan gelombang dapat ditulis ulang sebagai dua persamaan diferensial yang berbeda

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V ( x ) \psi (x ) = E\,\psi (x ) } $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

di mana persamaan pertama hanya bergantung pada waktu T ( t ) {\displaystyle T(t)} $T(t)$ , dan persamaan kedua hanya bergantung pada posisi ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} $\psi (x)$ , dan di mana E {\displaystyle E} $E$ hanyalah sebuah bilangan. Persamaan pertama dapat segera diselesaikan untuk memberikan

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

dimana e {\displaystyle e} $e$ adalah bilangan Euler. Solusi dari persamaan kedua bergantung pada fungsi energi potensial, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ , dan tidak dapat diselesaikan sampai fungsi ini diberikan. Hal ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan mekanika kuantum bahwa bilangan E {\displaystyle E} $E$ sebenarnya adalah energi sistem, sehingga fungsi gelombang yang dapat dipisahkan ini menggambarkan sistem energi konstan. Karena energi adalah konstan dalam banyak sistem fisika yang penting (misalnya: elektron dalam atom), persamaan kedua dari himpunan persamaan diferensial terpisah yang disajikan di atas sering digunakan. Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Schrödinger yang bebas waktu, karena tidak melibatkan t {\displaystyle t} $t$ .

Interpretasi fungsi Gelombang

Interpretasi Lahir

Ada banyak interpretasi filosofis dari fungsi gelombang, dan beberapa ide utama akan dipertimbangkan di sini. Gagasan utama, yang disebut interpretasi probabilitas Born (dinamai menurut fisikawan Max Born) berasal dari gagasan sederhana bahwa fungsi gelombang adalah kuadrat integrabel; yaitu

∫ - ∞ ∞ Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Rumus yang agak sederhana ini memiliki implikasi fisik yang besar. Born berhipotesis bahwa integral di atas menentukan bahwa partikel itu ada di suatu tempat di ruang angkasa. Tetapi bagaimana kita bisa menemukannya? Kita menggunakan integral

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

dimana P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} $P(b<x<a)$ adalah probabilitas menemukan partikel di wilayah dari b {\displaystyle b} $b$ sampai a {\displaystyle a} . Dengan kata lain, semua yang dapat diketahui sebelumnya tentang partikel secara umum adalah probabilitas, rata-rata, dan kuantitas statistik lainnya yang terkait dengan kuantitas fisiknya (posisi, momentum, dll.). Pada dasarnya, ini adalah interpretasi Born.

Interpretasi Kopenhagen

Perluasan dari gagasan di atas dapat dilakukan. Karena interpretasi Born mengatakan bahwa posisi partikel yang sebenarnya tidak dapat diketahui, kita dapat menurunkan yang berikut ini. Jika Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\titik-titik \Psi _{n}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ adalah solusi-solusi persamaan gelombang, maka superposisi solusi-solusi tersebut, yaitu

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\ titik +c_{n}\Psi _{n}}} $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

juga merupakan solusi. Ini menyiratkan, kemudian, bahwa partikel itu ada di setiap posisi yang mungkin. Ketika seorang pengamat datang dan mengukur posisi partikel, maka superposisi direduksi menjadi fungsi gelombang tunggal yang mungkin. (yaitu, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}} $\Psi _{s}$ → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ , di mana Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} $\Psi _{n}$ adalah salah satu dari kemungkinan keadaan fungsi gelombang). Gagasan bahwa posisi partikel tidak dapat diketahui secara pasti, dan bahwa sebuah partikel ada dalam beberapa posisi secara bersamaan memunculkan prinsip Ketidakpastian. Formulasi matematis dari prinsip ini dapat diberikan oleh

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Di mana Δ x {\displaystyle \Delta x} $\Delta x$ adalah ketidakpastian dalam posisi, dan Δ p {\displaystyle \Delta p} $\Delta p$ adalah ketidakpastian dalam momentum. Prinsip ini dapat diturunkan secara matematis dari transformasi Fourier antara momentum dan posisi seperti yang didefinisikan oleh mekanika kuantum, tetapi kita tidak akan menurunkannya dalam artikel ini.

Interpretasi Lain

Ada berbagai penafsiran lain, seperti penafsiran banyak-dunia, dan determinisme kuantum.

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan persamaan Schrödinger?

J: Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial yang menjadi dasar mekanika kuantum dan dipikirkan oleh Erwin Schrödinger pada tahun 1925. Persamaan ini mendefinisikan fungsi gelombang dari sebuah partikel atau sistem yang memiliki nilai tertentu di setiap titik dalam ruang untuk setiap waktu tertentu.

T: Informasi apa yang dapat ditemukan dari memanipulasi fungsi gelombang?

J: Dengan memanipulasi fungsi gelombang secara matematis, nilai-nilai nyata yang berkaitan dengan sifat fisik seperti posisi, momentum, energi, dll. dapat ditemukan.

T: Apa artinya jika sebuah partikel dapat memiliki banyak posisi, energi, kecepatan, atau sifat fisik lain yang berbeda pada saat yang bersamaan?

J: Ini berarti bahwa fungsi gelombang dapat berada di sejumlah keadaan yang berbeda sekaligus sehingga sebuah partikel dapat memiliki banyak posisi, energi, kecepatan, atau sifat fisik lainnya yang berbeda pada waktu yang sama (yaitu "berada di dua tempat sekaligus").

T: Apa yang dimaksud dengan keruntuhan fungsi gelombang?

J: Keruntuhan fungsi gelombang adalah ketika salah satu dari sifat-sifat ini diukur, ia hanya memiliki satu nilai tertentu (yang tidak dapat diprediksi secara pasti), dan oleh karena itu fungsi gelombang hanya berada dalam satu keadaan tertentu. Hal ini tampaknya disebabkan oleh tindakan pengamatan atau pengukuran.

T: Apa saja komponen persamaan Schrödinger?

J: Komponen persamaan Schrödinger meliputi i yang sama dengan akar kuadrat -1; ℏ yang merepresentasikan konstanta Planck tereduksi; t yang merepresentasikan waktu; x yang merepresentasikan posisi; Ψ (x, t) yang merepresentasikan fungsi gelombang; dan V (x) yang merepresentasikan energi potensial sebagai fungsi yang belum dipilih sebagai fungsi posisi.

T: Bagaimana kita menginterpretasikan keruntuhan fungsi gelombang?

J: Penyebab pasti dan interpretasi keruntuhan fungsi gelombang masih diperdebatkan secara luas dalam komunitas ilmiah.