Persamaan Schrödinger

Versi Waktu independen

Dengan mengasumsikan bahwa fungsi gelombang, Ψ ( x, t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} , dapat dipisahkan, yaitu dengan mengasumsikan fungsi dua variabel dapat ditulis sebagai hasil kali dari dua fungsi yang berbeda dari satu variabel:

Ψ ( x, t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x, t)=\psi (x)T(t)}

kemudian, dengan menggunakan teknik matematika standar dari persamaan diferensial parsial, dapat ditunjukkan bahwa persamaan gelombang dapat ditulis ulang sebagai dua persamaan diferensial yang berbeda

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)}

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}}+V ( x ) \psi (x ) = E\,\psi (x ) }

di mana persamaan pertama hanya bergantung pada waktu T ( t ) {\displaystyle T(t)} , dan persamaan kedua hanya bergantung pada posisi ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} , dan di mana E {\displaystyle E} hanyalah sebuah bilangan. Persamaan pertama dapat segera diselesaikan untuk memberikan

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}}

dimana e {\displaystyle e} adalah bilangan Euler. Solusi dari persamaan kedua bergantung pada fungsi energi potensial, V ( x ) {\displaystyle V(x)} , dan tidak dapat diselesaikan sampai fungsi ini diberikan. Hal ini dapat ditunjukkan dengan menggunakan mekanika kuantum bahwa bilangan E {\displaystyle E} sebenarnya adalah energi sistem, sehingga fungsi gelombang yang dapat dipisahkan ini menggambarkan sistem energi konstan. Karena energi adalah konstan dalam banyak sistem fisika yang penting (misalnya: elektron dalam atom), persamaan kedua dari himpunan persamaan diferensial terpisah yang disajikan di atas sering digunakan. Persamaan ini dikenal sebagai Persamaan Schrödinger yang bebas waktu, karena tidak melibatkan t {\displaystyle t} .

Interpretasi fungsi Gelombang

Interpretasi Lahir

Ada banyak interpretasi filosofis dari fungsi gelombang, dan beberapa ide utama akan dipertimbangkan di sini. Gagasan utama, yang disebut interpretasi probabilitas Born (dinamai menurut fisikawan Max Born) berasal dari gagasan sederhana bahwa fungsi gelombang adalah kuadrat integrabel; yaitu

∫ - ∞ ∞ Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty }

Rumus yang agak sederhana ini memiliki implikasi fisik yang besar. Born berhipotesis bahwa integral di atas menentukan bahwa partikel itu ada di suatu tempat di ruang angkasa. Tetapi bagaimana kita bisa menemukannya? Kita menggunakan integral

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}

dimana P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)} adalah probabilitas menemukan partikel di wilayah dari b {\displaystyle b} sampai a {\displaystyle a} . Dengan kata lain, semua yang dapat diketahui sebelumnya tentang partikel secara umum adalah probabilitas, rata-rata, dan kuantitas statistik lainnya yang terkait dengan kuantitas fisiknya (posisi, momentum, dll.). Pada dasarnya, ini adalah interpretasi Born.

Interpretasi Kopenhagen

Perluasan dari gagasan di atas dapat dilakukan. Karena interpretasi Born mengatakan bahwa posisi partikel yang sebenarnya tidak dapat diketahui, kita dapat menurunkan yang berikut ini. Jika Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\titik-titik \Psi _{n}} adalah solusi-solusi persamaan gelombang, maka superposisi solusi-solusi tersebut, yaitu

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\displaystyle \Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\ titik +c_{n}\Psi _{n}}}

juga merupakan solusi. Ini menyiratkan, kemudian, bahwa partikel itu ada di setiap posisi yang mungkin. Ketika seorang pengamat datang dan mengukur posisi partikel, maka superposisi direduksi menjadi fungsi gelombang tunggal yang mungkin. (yaitu, Ψ s {\displaystyle \Psi _{s}}} → Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} , di mana Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} adalah salah satu dari kemungkinan keadaan fungsi gelombang). Gagasan bahwa posisi partikel tidak dapat diketahui secara pasti, dan bahwa sebuah partikel ada dalam beberapa posisi secara bersamaan memunculkan prinsip Ketidakpastian. Formulasi matematis dari prinsip ini dapat diberikan oleh

Δ x Δ p > ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}}

Di mana Δ x {\displaystyle \Delta x} adalah ketidakpastian dalam posisi, dan Δ p {\displaystyle \Delta p} adalah ketidakpastian dalam momentum. Prinsip ini dapat diturunkan secara matematis dari transformasi Fourier antara momentum dan posisi seperti yang didefinisikan oleh mekanika kuantum, tetapi kita tidak akan menurunkannya dalam artikel ini.

Interpretasi Lain

Ada berbagai penafsiran lain, seperti penafsiran banyak-dunia, dan determinisme kuantum.