Di sini kita akan menunjukkan persamaan pertama yang memberikan ide dasar yang kemudian ditunjukkan dalam prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Makalah terobosan Heisenberg tahun 1925 tidak menggunakan dan bahkan tidak menyebutkan matriks. Keberhasilan besar Heisenberg adalah "skema yang pada prinsipnya mampu menentukan secara unik kualitas fisik yang relevan (frekuensi transisi dan amplitudo)" dari radiasi hidrogen.
Setelah Heisenberg menulis makalah terobosannya, dia memberikannya kepada salah satu gurunya untuk diperbaiki dan pergi berlibur. Max Born bingung dengan persamaan-persamaan dan persamaan-persamaan non-komutasi yang bahkan menurut Heisenberg merupakan masalah. Setelah beberapa hari Born menyadari bahwa persamaan-persamaan ini adalah petunjuk untuk menuliskan matriks. Matriks adalah hal yang baru dan aneh, bahkan untuk matematikawan pada waktu itu, tetapi bagaimana melakukan matematika dengan matriks sudah diketahui dengan jelas. Dia dan beberapa orang lainnya mengerjakan semuanya dalam bentuk matriks sebelum Heisenberg kembali dari cuti, dan dalam beberapa bulan mekanika kuantum baru dalam bentuk matriks memberi mereka dasar untuk makalah lain.
Max Born melihat bahwa ketika matriks yang mewakili pq dan qp dihitung, mereka tidak akan sama. Heisenberg telah melihat hal yang sama dalam hal cara aslinya dalam menulis sesuatu, dan Heisenberg mungkin telah menebak apa yang hampir segera terlihat jelas bagi Born - bahwa perbedaan antara matriks jawaban untuk pq dan untuk qp akan selalu melibatkan dua faktor yang keluar dari matematika asli Heisenberg: Konstanta Planck h dan i, yang merupakan akar kuadrat dari negatif satu. Jadi, gagasan tentang apa yang Heisenberg lebih suka menyebutnya "prinsip ketidakpastian" (biasanya dikenal sebagai prinsip ketidakpastian) bersembunyi di persamaan asli Heisenberg.
Heisenberg telah melihat perubahan yang terjadi dalam atom ketika elektron mengubah tingkat energinya dan karenanya semakin dekat ke pusat atomnya atau semakin jauh dari pusatnya, dan, terutama, situasi di mana elektron jatuh ke keadaan energi yang lebih rendah dalam dua langkah. Max Born menjelaskan bagaimana ia mengambil "resep" aneh Heisenberg untuk menemukan produk, C, dari beberapa perubahan dalam atom dari tingkat energi n ke tingkat energi n-b, yang melibatkan mengambil jumlah dari mengalikan satu perubahan dalam sesuatu yang disebut A (yang bisa jadi, misalnya, frekuensi beberapa foton) yang dihasilkan oleh perubahan energi elektron dalam atom antara keadaan energi n dan keadaan energi n-a) oleh perubahan berikutnya dalam sesuatu yang disebut B (yang bisa jadi, misalnya, amplitudo perubahan) yang dihasilkan oleh perubahan lain dalam keadaan energi dari n-a ke n-b):
C ( n , n - b ) = ∑ a A ( n , n - a ) B ( n - a , n - b ) {\displaystyle C(n, n - b) = jumlah _{a}^{}}\,A(n, n - a) B(n - a, n - b)} 
dan menemukan sesuatu yang inovatif:
Dengan pertimbangan ...contoh-contoh...[Heisenberg] menemukan aturan ini.... Ini terjadi pada musim panas tahun 1925. Heisenberg...mengambil cuti...dan menyerahkan makalahnya kepada saya untuk dipublikasikan....
Aturan perkalian Heisenberg membuat saya tidak tenang, dan setelah seminggu berpikir dan mencoba secara intensif, tiba-tiba saya teringat teori aljabar.... Susunan kuadratik seperti itu cukup akrab bagi para matematikawan dan disebut matriks, dalam hubungannya dengan aturan perkalian yang pasti. Saya menerapkan aturan ini pada kondisi kuantum Heisenberg dan mendapati bahwa aturan ini setuju untuk elemen-elemen diagonal. Sangat mudah untuk menebak apa yang harus dilakukan oleh elemen yang tersisa, yaitu, nol; dan segera berdiri di hadapan saya rumus aneh
Q P - P Q = i h 2 π {\displaystyle {QP-PQ={\frac {ih}{2\pi }}}} 
[Simbol Q adalah matriks untuk perpindahan, P adalah matriks untuk momentum, i singkatan dari akar kuadrat dari negatif satu, dan h adalah konstanta Planck].
Kemudian, Heisenberg menuangkan penemuannya ke dalam bentuk matematika lain:
Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}} 
(Simbol khusus ℏ {\displaystyle {\hbar }}
disebut "h-bar," atau 'konstanta Planks yang tereduksi', sama dengan h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}
.)
Matematika adalah cara untuk menggambarkan hal-hal yang terjadi di dunia nyata. Anda mungkin membayangkan bahwa akan mudah untuk mendapatkan posisi yang tepat dari sesuatu dan massa, jalur, dan kecepatan yang tepat pada saat yang bersamaan. Namun, pada kenyataannya Anda harus melakukan dua hal untuk mendapatkan jawaban Anda. Jika Anda mengukur posisi dan momentum peluru yang terjebak di tebing gunung besar di suatu tempat, itu adalah masalah sederhana. Gunung itu tampaknya tidak akan pergi ke mana-mana, begitu pula peluru itu. Jadi posisinya diketahui dan kecepatannya 0, sehingga momentumnya juga 0. Tetapi jika peluru berada di suatu tempat antara pistol dan target, akan sulit untuk mendapatkan posisinya pada waktu tertentu. Yang terbaik yang mungkin bisa kita lakukan adalah mengambil gambarnya dengan menggunakan kamera dengan rana yang sangat cepat. Tetapi, sekali menekan shutter hanya akan memberikan satu hal, posisi peluru pada waktu t. Untuk mendapatkan momentumnya, kita bisa menaruh balok parafin di jalan peluru dan mengukur bagaimana balok parafin itu bergerak ketika menghentikan peluru. Atau, jika kita tahu massa peluru, kita bisa mengambil urutan dua gambar, menghitung kecepatan dengan mengetahui perbedaan antara dua posisi peluru dan waktu antara dua kemunculannya. Bagaimanapun kita melakukannya, kita perlu mengukur massa dan posisi serta waktu di antara kemunculannya. Kita akhirnya melakukan setidaknya dua pengukuran untuk mendapatkan x dan p. Dalam hal ini kita harus memilih pengukuran mana yang harus dilakukan pertama kali, dan mana yang harus dilakukan kedua. Tampaknya tidak ada bedanya urutan mana pengukuran kita dilakukan. Mengukur massa peluru dan kemudian mengukur posisinya dua kali, atau mengukur posisi peluru dua kali dan kemudian mengambil kembali peluru dan mengukur massanya tidak akan membuat perbedaan, bukan? Lagi pula, kita tidak melakukan apa pun pada peluru ketika kita menimbangnya atau ketika kita membuat fotonya.
Pada skala yang sangat kecil ketika kita mengukur sesuatu seperti elektron, bagaimanapun, setiap pengukuran melakukan sesuatu padanya. Jika kita mengukur posisi terlebih dahulu, maka kita mengubah momentumnya dalam prosesnya. Jika kita mengukur momentum elektron terlebih dahulu, maka kita mengubah posisinya dalam prosesnya. Harapan kita adalah mengukur salah satunya dan kemudian mengukur yang lain sebelum ada yang berubah, tetapi pengukuran kita sendiri membuat perubahan, dan yang terbaik yang bisa kita harapkan adalah mengurangi seminimal mungkin energi yang kita kontribusikan ke elektron dengan mengukurnya. Jumlah energi minimum itu memiliki konstanta Planck sebagai salah satu faktornya.
