Seri Taylor

Filsuf Yunani Kuno, Zeno dari Elea, pertama kali menemukan ide dari rangkaian ini. Paradoks yang disebut "parodoks Zeno' hasilnya. Dia percaya bahwa tidak mungkin untuk menambahkan jumlah nilai yang tak terbatas dan mendapatkan satu nilai terbatas sebagai hasilnya.

Filsuf Yunani lainnya, Aristoteles, memberikan jawaban atas pertanyaan filosofis tersebut. Namun, Archimedes-lah yang memberikan solusi matematis dengan menggunakan metode kelelahannya. Dia mampu membuktikan bahwa ketika sesuatu dipecah menjadi potongan-potongan kecil yang tak terbatas jumlahnya, mereka masih akan bertambah menjadi satu kesatuan ketika semuanya ditambahkan kembali. Matematikawan Tiongkok kuno Liu Hui membuktikan hal yang sama beberapa ratus tahun kemudian.

Contoh paling awal yang diketahui dari deret Taylor adalah karya Mādhava dari Sañgamāgrama di India pada tahun 1300-an. Kemudian matematikawan India menulis tentang karyanya dengan fungsi trigonometri sinus, kosinus, tangen, dan arctangent. Tidak ada tulisan atau catatan Mādhava yang masih ada sampai sekarang. Matematikawan lain mendasarkan karya mereka pada penemuan Mādhava dan bekerja lebih banyak dengan rangkaian ini sampai tahun 1500-an.

James Gregory, seorang matematikawan Skotlandia, bekerja di bidang ini pada tahun 1600-an. Gregory mempelajari deret Taylor dan menerbitkan beberapa deret Maclaurin. Pada tahun 1715, Brook Taylor menemukan metode umum untuk menerapkan deret ke semua fungsi. (Semua penelitian sebelumnya menunjukkan bagaimana menerapkan metode ini hanya untuk fungsi-fungsi tertentu). Colin Maclaurin menerbitkan kasus khusus dari deret Taylor pada tahun 1700-an. Deret ini, yang berbasis di sekitar nol, disebut deret Maclaurin.

Deret Taylor dapat digunakan untuk mendeskripsikan fungsi ƒ(x) yang merupakan fungsi yang mulus (atau, dalam istilah matematika, "terdiferensiasi tak terhingga.") Fungsi ƒ dapat berupa fungsi riil atau kompleks. Deret Taylor kemudian digunakan untuk mendeskripsikan seperti apa fungsi tersebut di lingkungan beberapa bilangan a.

Deret Taylor ini, yang ditulis sebagai deret pangkat, terlihat seperti:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . {\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x - a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x - a)^{3}+\cdots . }

Rumus ini juga bisa ditulis dalam notasi sigma sebagai:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}}

Di sini n! adalah faktorial dari n. ƒ ⁽ⁿ⁾ (a) adalah turunan ke-n dari ƒ di titik a. a {\displaystyle a} adalah bilangan dalam domain fungsi. Jika Deret Taylor dari suatu fungsi sama dengan fungsi tersebut, maka fungsi tersebut disebut "fungsi analitik".

Seri Maclaurin

Ketika a = 0 {\displaystyle a=0}. , fungsi tersebut disebut deret Maclaurin. Deret Maclaurin yang ditulis sebagai deret pangkat terlihat seperti:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . {\displaystyle f ( 0 ) + {\frac {f ' ( 0 ) } {1 !} } x + {\frac {f ' ' ( 0 ) } {2 !} } x ^ {2} + {\frac {f ^ {(3 ) } ( 0 ) } {3 !} } } x^{{3} + \cdots . }

Ketika ditulis dalam notasi sigma, deret Maclaurin adalah:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}}

Beberapa seri Taylor dan seri Maclaurin yang penting adalah sebagai berikut.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ untuk semua x {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ untuk semua }}x\! }

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ untuk semua x {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}}{2!}}+{\frac {x^{4}}}{4!}}-\cdots {\text{ untuk semua }}x\! }

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 untuk semua x {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ untuk semua }}x\! }

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n untuk semua x {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\! }

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ untuk semua x {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text {untuk semua }}x\! }

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ untuk semua | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}}+\cdots {\text {\text{ for all }}|x|<1}

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n untuk semua | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}{n}x^{n}{\text{ untuk semua }}|x|<1}}

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ untuk | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}}{3}}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}}\! }

Di mana B n {\displaystyle B_{n}} adalah bilangan Bernoulli ke-n, dan ln {\displaystyle \ln } adalah logaritma natural.