Dasar matematis relativitas khusus adalah transformasi Lorentz, yang secara matematis menggambarkan pandangan ruang dan waktu untuk dua pengamat yang bergerak relatif satu sama lain tetapi tidak mengalami percepatan.
Untuk mendefinisikan transformasi, kita menggunakan sistem koordinat Cartesian untuk secara matematis menggambarkan waktu dan ruang dari "peristiwa".
Setiap pengamat bisa menggambarkan suatu peristiwa sebagai posisi sesuatu dalam ruang pada waktu tertentu, dengan menggunakan koordinat (x,y,z,t).
Lokasi kejadian didefinisikan dalam tiga koordinat pertama (x,y,z) dalam kaitannya dengan pusat sembarang (0,0,0) sehingga (3,3,3) adalah diagonal yang menempuh 3 unit jarak (seperti meter atau mil) di setiap arah.
Waktu kejadian digambarkan dengan koordinat keempat t dalam kaitannya dengan titik waktu sembarang (0) dalam beberapa unit waktu (seperti detik atau jam atau tahun).
Biarkan ada pengamat K yang menggambarkan kapan peristiwa terjadi dengan koordinat waktu t, dan yang menggambarkan di mana peristiwa terjadi dengan koordinat spasial x, y, dan z. Ini secara matematis mendefinisikan pengamat pertama yang "sudut pandangnya" akan menjadi referensi pertama kita.
Mari kita tentukan bahwa waktu dari suatu peristiwa diberikan: oleh waktu yang diamati t(diamati) (katakanlah hari ini, pada jam 12) dikurangi waktu yang diperlukan untuk pengamatan untuk mencapai pengamat.
Hal ini dapat dihitung sebagai jarak dari pengamat ke peristiwa d(teramati) (katakanlah peristiwa tersebut berada pada bintang yang berjarak 1 tahun cahaya, sehingga cahaya membutuhkan waktu 1 tahun untuk mencapai pengamat) dibagi dengan c, kecepatan cahaya (beberapa juta mil per jam), yang kita definisikan sebagai sama untuk semua pengamat.
Ini benar karena jarak, dibagi dengan kecepatan memberikan waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut pada kecepatan itu (misalnya 30 mil dibagi 10 mph: memberi kita waktu 3 jam, karena jika Anda melaju dengan kecepatan 10 mph selama 3 jam, Anda mencapai 30 mil). Jadi kita punya:
t = d/c {\displaystyle t=d/c} 
Ini secara matematis mendefinisikan apa arti "waktu" bagi pengamat mana pun.
Sekarang dengan adanya definisi-definisi ini, biarlah ada pengamat lain, K' yang
- bergerak sepanjang sumbu x dari K dengan laju v,
- memiliki sistem koordinat spasial x', y', dan z',
di mana sumbu x' berimpit dengan sumbu x, dan dengan sumbu y' dan z' - "selalu paralel" dengan sumbu y dan z.
Ini berarti bahwa ketika K' memberikan lokasi seperti (3,1,2), x (yang merupakan 3 dalam contoh ini) adalah tempat yang sama dengan yang dibicarakan oleh K, pengamat pertama, tetapi 1 pada sumbu y atau 2 pada sumbu z hanya paralel dengan beberapa lokasi pada sistem koordinat pengamat K', dan
- di mana K dan K' bertepatan pada t = t' = 0
Ini berarti bahwa koordinat (0,0,0,0) adalah peristiwa yang sama untuk kedua pengamat.
Dengan kata lain, kedua pengamat memiliki (paling tidak) satu waktu dan lokasi yang mereka berdua sepakati, yaitu lokasi dan waktu nol.
Transformasi Lorentz kemudian adalah
t′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\displaystyle y'=y} 
, dan
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Tentukan sebuah peristiwa memiliki koordinat ruang-waktu (t,x,y,z) dalam sistem S dan (t′,x′,y′,z′) dalam sebuah kerangka acuan yang bergerak dengan kecepatan v terhadap kerangka tersebut, S′. Kemudian transformasi Lorentz menetapkan bahwa koordinat-koordinat ini terkait dengan cara berikut: adalah faktor Lorentz dan c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa udara, dan kecepatan v dari S′ sejajar dengan sumbu-x. Untuk mempermudah, koordinat y dan z tidak terpengaruh; hanya koordinat x dan t yang ditransformasikan. Transformasi Lorentz ini membentuk kelompok pemetaan linear satu parameter, parameter itu disebut kecepatan.
Menyelesaikan empat persamaan transformasi di atas untuk koordinat yang tidak diasumsikan menghasilkan transformasi Lorentz inversi:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Menerapkan transformasi Lorentz terbalik ini agar bertepatan dengan transformasi Lorentz dari sistem prima ke sistem tak prima, menunjukkan kerangka tak prima sebagai bergerak dengan kecepatan v′ = -v, seperti yang diukur dalam kerangka prima.
Tidak ada yang istimewa tentang sumbu-x. Transformasi dapat diterapkan pada sumbu y atau z, atau memang dalam arah apa pun, yang dapat dilakukan dengan arah yang sejajar dengan gerakan (yang dibengkokkan oleh faktor γ) dan tegak lurus; lihat artikel Transformasi Lorentz untuk detailnya.
Kuantitas invarian di bawah transformasi Lorentz dikenal sebagai skalar Lorentz.
Menuliskan transformasi Lorentz dan inversnya dalam hal perbedaan koordinat, di mana satu peristiwa memiliki koordinat (x1 , t1 ) dan (x′1 , t′1 ), peristiwa lain memiliki koordinat (x2 , t2 ) dan (x′2 , t′2 ), dan perbedaan didefinisikan sebagai
Persamaan 1: Δ x′ = x 2′ - x 1′ , Δ t′ = t 2′ - t 1′ . {\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ . } 
Persamaan 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . {\displaystyle \Delta x = x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t = t_{2}-t_{1}\ . } 
kita dapatkan
Persamaan 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ } 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ . } 
Persamaan 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\displaystyle \Delta x = \gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }. 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . {\displaystyle \Delta t=\gamma \ \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ . } 
Jika kita mengambil diferensial dan bukannya mengambil perbedaan, kita mendapatkan
Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\displaystyle dx'=\gamma \(dx-v\,dt)\ ,\ }
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . {\displaystyle dt'=\gamma \ \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ . } 
Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . {\displaystyle dt=\gamma \ \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ . } 
