Geometri aljabar

Geometri aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari persamaan polinomial. Geometri aljabar modern didasarkan pada teknik-teknik yang lebih abstrak dari aljabar abstrak, terutama aljabar komutatif, dengan bahasa dan masalah-masalah geometri.

Objek utama studi dalam geometri aljabar adalah varietas aljabar, yang merupakan manifestasi geometris dari himpunan solusi sistem persamaan polinomial. Contoh kelas varietas aljabar yang paling banyak dipelajari adalah: kurva aljabar bidang, yang meliputi garis, lingkaran, parabola, elips, hiperbola, kurva kubik seperti kurva eliptik dan kurva kuartik seperti lemniscates, dan oval Cassini. Sebuah titik bidang termasuk dalam kurva aljabar jika koordinatnya memenuhi persamaan polinomial yang diberikan. Pertanyaan-pertanyaan dasar melibatkan studi tentang titik-titik minat khusus seperti titik-titik singular, titik-titik belok dan titik-titik di tak terhingga. Pertanyaan-pertanyaan yang lebih lanjut melibatkan topologi kurva dan hubungan antara kurva-kurva yang diberikan oleh persamaan-persamaan yang berbeda.

Geometri aljabar menempati tempat sentral dalam matematika modern. Konsep-konsep yang digunakannya menghubungkannya dengan beragam bidang seperti analisis kompleks, topologi dan teori bilangan. Pada awalnya, geometri aljabar adalah tentang mempelajari sistem persamaan polinomial dalam beberapa variabel. Geometri aljabar dimulai pada titik di mana penyelesaian persamaan berhenti: Dalam banyak kasus, menemukan sifat-sifat yang dimiliki oleh semua solusi yang dimiliki oleh sekumpulan persamaan yang diberikan lebih penting daripada menemukan solusi tertentu: ini mengarah ke beberapa area terdalam dalam semua matematika, baik secara konseptual maupun dalam hal teknik.

Pada abad ke-20, geometri aljabar telah terpecah menjadi beberapa subarea.

• Aliran utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan secara umum untuk titik-titik dengan koordinat dalam bidang yang tertutup secara aljabar.
• Studi tentang titik-titik dari varietas aljabar dengan koordinat dalam bidang bilangan rasional atau dalam bidang bilangan menjadi geometri aritmatika (atau lebih klasik geometri Diophantine), subbidang teori bilangan aljabar.
• Studi tentang titik-titik riil dari suatu ragam aljabar adalah subjek geometri aljabar riil.
• Sebagian besar teori singularitas dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
• Ketika komputer menjadi lebih umum, sebuah bidang yang dinamakan 'computational algebraic geomery' berkembang. Bidang ini melihat persimpangan geometri aljabar dan aljabar komputer. Hal ini berkaitan dengan pengembangan algoritma dan perangkat lunak untuk mempelajari dan menemukan sifat-sifat varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit.

Sebagian besar perkembangan aliran utama geometri aljabar pada abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan meningkatnya penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien. Perkembangan dalam topologi, diferensial dan geometri kompleks terjadi dengan cara yang sama. Salah satu pencapaian kunci dari geometri aljabar abstrak ini adalah teori skema Grothendieck yang memungkinkan seseorang untuk menggunakan teori sheaf untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi manifold diferensial dan analitik. Hal ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari varietas affine dapat diidentifikasi, melalui Hilbert Nullstellensatz, dengan ideal maksimal dari cincin koordinat, sedangkan titik-titik dari skema affine yang sesuai adalah semua ideal prima dari cincin ini. Ini berarti bahwa sebuah titik dari skema tersebut dapat berupa titik biasa atau subvariabel. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama yang berkaitan dengan titik kompleks, dan teori bilangan aljabar. Bukti Wiles dari dugaan lama yang disebut teorema terakhir Fermat adalah contoh kekuatan pendekatan ini.

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan Geometri Aljabar?

T: Teknik apa yang digunakan dalam geometri aljabar modern?

T: Jenis persamaan apa yang dipelajari geometri aljabar?

T: Bagaimana geometri aljabar aljabar menggunakan aljabar abstrak?

T: Apakah ada jenis bahasa tertentu yang digunakan dalam bidang ini?

T: Bagaimana teknologi modern berdampak pada bidang ini?

Cari berdasarkan huruf