Variasi aljabar
Dalam matematika, varietas aljabar (juga disebut varietas) adalah salah satu objek utama studi dalam geometri aljabar. Definisi pertama dari ragam aljabar mendefinisikannya sebagai himpunan solusi dari sistem persamaan polinomial, di atas bilangan real atau kompleks. Definisi modern dari ragam aljabar menggeneralisasi gagasan ini sementara mereka mencoba untuk mempertahankan intuisi geometris di balik definisi aslinya.
Konvensi mengenai definisi varietas aljabar berbeda-beda: Beberapa penulis mensyaratkan bahwa "ragam aljabar", menurut definisi, tidak dapat direduksi (yang berarti bahwa itu bukan gabungan dari dua himpunan yang lebih kecil yang tertutup dalam topologi Zariski), sementara yang lain tidak. Ketika konvensi sebelumnya digunakan, varietas aljabar yang tidak dapat direduksi disebut himpunan aljabar.
Pengertian ragam mirip dengan pengertian manifold. Salah satu perbedaan antara ragam dan manifold adalah bahwa ragam mungkin memiliki titik-titik tunggal, sedangkan manifold tidak. Terbukti sekitar tahun 1800, teorema dasar aljabar menetapkan hubungan antara aljabar dan geometri dengan menunjukkan bahwa polinomial monik dalam satu variabel dengan koefisien kompleks (objek aljabar) ditentukan oleh himpunan akar-akarnya (objek geometris). Menggeneralisasi hasil ini, Nullstellensatz Hilbert menyediakan korespondensi mendasar antara ideal cincin polinomial dan himpunan aljabar. Dengan menggunakan Nullstellensatz dan hasil-hasil terkait, para matematikawan telah membentuk korespondensi yang kuat antara pertanyaan-pertanyaan tentang himpunan aljabar dan pertanyaan-pertanyaan tentang teori ring. Korespondensi ini adalah kekhususan geometri aljabar di antara subarea geometri lainnya.
Kubik bengkok adalah ragam aljabar proyektif.
Pertanyaan dan Jawaban
T: Apa itu varietas aljabar?
J: Varietas aljabar adalah salah satu objek utama studi dalam geometri aljabar. Varietas aljabar didefinisikan sebagai himpunan solusi dari sistem persamaan polinomial, di atas bilangan real atau kompleks.
T: Bagaimana definisi modern berbeda dari definisi aslinya?
J: Definisi modern mencoba mempertahankan intuisi geometris di balik definisi asli sambil menggeneralisasikannya. Beberapa penulis mensyaratkan bahwa "ragam aljabar", menurut definisi, tidak dapat direduksi (yang berarti bahwa itu bukan gabungan dari dua himpunan yang lebih kecil yang tertutup dalam topologi Zariski), sementara yang lain tidak.
T: Apa satu perbedaan antara varietas dan manifold?
J: Sebuah ragam mungkin memiliki titik-titik singular, sementara manifold tidak.
T: Apa yang ditetapkan oleh teorema fundamental aljabar?
J: Teorema fundamental aljabar menetapkan hubungan antara aljabar dan geometri dengan menunjukkan bahwa polinomial monik dalam satu variabel dengan koefisien kompleks (objek aljabar) ditentukan oleh himpunan akar-akarnya (objek geometris).
T: Apa yang disediakan oleh Nullstellensatz Hilbert?
J: Nullstellensatz Hilbert menyediakan korespondensi fundamental antara ideal cincin polinomial dan himpunan aljabar.
T: Bagaimana korespondensi ini digunakan oleh para matematikawan?
J: Para matematikawan telah membentuk korespondensi yang kuat antara pertanyaan-pertanyaan tentang himpunan aljabar dan pertanyaan-pertanyaan tentang teori ring dengan menggunakan korespondensi ini.
T: Apa yang membuat area khusus ini unik di antara subarea lain dalam geometri? J: Korespondensi yang kuat antara pertanyaan-pertanyaan tentang himpunan aljabar dan pertanyaan-pertanyaan tentang teori ring membuat area khusus ini unik di antara subarea lain dalam geometri.
