Variabel konjugasi adalah pasangan khusus variabel (seperti x, y, z) yang tidak memberikan hasil yang sama ketika Anda melakukan operasi matematika tertentu dengan mereka. Ini berarti bahwa x*y tidak sama dengan y*x. Di sini, * tidak berarti perkalian. Ini bisa berarti penambahan, pengurangan, pembagian, atau operasi apa pun yang masuk akal, dalam kasus itu.
Seorang fisikawan, Werner Heisenberg, dan rekan kerjanya menggunakan persamaan yang dipelajari dalam fisika klasik untuk menggambarkan dan memprediksi peristiwa dari fisika kuantum. Dia menemukan bahwa momentum (massa kali kecepatan, diwakili oleh P) dan posisi (diwakili oleh Q) adalah variabel konjugat. Ini berarti bahwa P*Q tidak sama dengan Q*P, dalam fisika kuantum.
Berikut adalah dua persamaan khusus untuk menghitung energi elektron (benda hijau kecil) dalam atom hidrogen.
Persamaan pertama bisa digunakan untuk mengetahui hasil kali momentum dan posisi:
Y ( n , n - b ) = ∑ a p ( n , n - a ) q ( n - a , n - b ) {\displaystyle Y(n, n - b) = jumlah _{a}^{}}\,p(n, n - a) q(n - a, n - b)} 
Persamaan kedua bisa digunakan untuk menghitung hasil kali posisi dan momentum:
Z ( n , n - b ) = ∑ a q ( n , n - a ) p ( n - a , n - b ) {\displaystyle Z(n, n - b) = jumlah _{a}^{}}\,q(n, n - a) p(n - a, n - b)} 
Beberapa waktu kemudian, fisikawan lain, Max Born menemukan bahwa, karena P*Q tidak sama dengan Q*P, maka hasil dari Q*P dikurangi P*Q bukanlah nol. ("Minus" bukanlah minus yang sama dengan "3 - 2". Ini adalah hal yang berbeda dengan nama yang sama).
Lahir menemukan bahwa:
Q ∗ P - P ∗ Q = i h 2 π {\displaystyle {Q*P-P-P*Q={\frac {ih}{2\pi }}}} 
[Simbol Q adalah matriks untuk posisi, P adalah matriks untuk momentum, i adalah bilangan kompleks, dan h adalah konstanta Planck, bilangan yang banyak muncul dalam mekanika kuantum].
Variabel konjugasi memiliki aplikasi di seluruh Fisika, dalam Kimia, dan di banyak bidang sains lainnya.