Wavelet

Wavelet adalah fungsi matematika yang digunakan untuk menuliskan fungsi atau sinyal dalam istilah fungsi lain yang lebih sederhana untuk dipelajari. Banyak tugas pemrosesan sinyal dapat dilihat dari segi transformasi wavelet. Secara informal, sinyal dapat dilihat di bawah lensa dengan pembesaran yang diberikan oleh skala wavelet. Dengan demikian, kita hanya dapat melihat informasi yang ditentukan oleh bentuk wavelet yang digunakan.

Istilah bahasa Inggris "wavelet" diperkenalkan pada awal tahun 1980-an oleh fisikawan Prancis Jean Morlet dan Alex Grossman. Mereka menggunakan kata Perancis "ondelette" (yang berarti "gelombang kecil"). Kemudian, kata ini dibawa ke dalam bahasa Inggris dengan menerjemahkan "onde" menjadi "gelombang" yang menghasilkan "wavelet".

Wavelet adalah fungsi (kompleks) dari ruang Hilbert ψ ∈ L 2 ( R ) {\displaystyle \psi \dalam L^{2}(\mathbb {R} )} $\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )$ . Untuk aplikasi praktis, fungsi ini harus memenuhi kondisi berikut.

Ia harus memiliki energi yang terbatas.

∫ - ∞ ∞ | ψ ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty } $\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (t)|^{2}dt<\infty$

Ini harus memenuhi kondisi yang dapat diterima.

∫ 0 ∞ | ψ ^ ( ω ) | 2 ω d ω < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}} \over {\omega }}d\omega <\infty } $\int _{0}^{\infty }{{|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}} \over {\omega }}d\omega <\infty$ , di mana ψ ^ {\displaystyle {\hat {\psi }}} ${\hat {\psi }}$ adalah transformasi Fourier dari ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$

Kondisi rata-rata nol berimplikasi dari kondisi penerimaan.

∫ - ∞ ∞ ψ ( t ) d t = 0 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0} $\int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)dt=0$

Fungsi ψ {\displaystyle \psi \,} $\psi \,$ disebut mother wavelet. Versi translasi (pergeseran) dan dilatasi (skala) yang dinormalisasi didefinisikan sebagai berikut.

ψ a , b ( t ) = 1 a ψ ( t - b a ) {\displaystyle \psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \kiri({{t-b} \lebih dari {a}}} \kanan)} $\psi _{a,b}(t)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over {a}}\right)$

Original mother wavelet memiliki parameter a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ dan b = 0 {\displaystyle b=0} $b=0$ . Translasi dideskripsikan oleh parameter b {\displaystyle b} $b$ dan dilatasi oleh parameter a {\displaystyle a} .

Wavelet Morlet

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan wavelet?

J: Wavelet adalah fungsi matematika yang digunakan untuk menuliskan suatu fungsi atau sinyal dalam bentuk fungsi lain yang lebih sederhana untuk dipelajari. Hal ini dapat dilihat di bawah lensa dengan pembesaran yang diberikan oleh skala wavelet, sehingga kita hanya dapat melihat informasi yang ditentukan oleh bentuknya.

T: Siapa yang memperkenalkan istilah "wavelet"?

J: Istilah bahasa Inggris "wavelet" diperkenalkan pada awal tahun 1980-an oleh fisikawan Prancis Jean Morlet dan Alex Grossman, yang menggunakan kata "ondelette" dalam bahasa Prancis (yang berarti "gelombang kecil"). Kemudian, kata ini dibawa ke dalam bahasa Inggris dengan menerjemahkan "onde" menjadi "wave", sehingga menjadi "wavelet".

T: Apa yang harus dipenuhi oleh wavelet untuk aplikasi praktis?

J: Untuk aplikasi praktis, wavelet harus memiliki energi yang terbatas dan memenuhi kondisi penerimaan. Kondisi penerimaan ini menyatakan bahwa wavelet harus memiliki rata-rata nol dan juga memenuhi integral atas frekuensi yang kurang dari tak terhingga.

T: Apa yang dimaksud dengan translasi dan dilatasi ketika mengacu pada wavelet?

A: Terjemahan mengacu pada pergeseran atau pergerakan wavelet induk di sepanjang sumbu waktu, sedangkan dilatasi mengacu pada penskalaan atau peregangan/penyusutan wavelet induk di sepanjang sumbu waktu. Kedua parameter ini (translasi & dilatasi) masing-masing dijelaskan oleh b & a.

T: Apa artinya wavelet memiliki mean nol?

J: Zero mean menyiratkan bahwa ketika mengintegrasikan semua nilai t dari tak terhingga negatif hingga tak terhingga positif, maka jumlahnya harus sama dengan 0, yaitu, ∫-∞∞ψ (t) dt = 0. Persyaratan ini mengikuti dari kondisi penerimaan itu sendiri seperti yang disebutkan di atas.

T: Bagaimana mother wavelet didefinisikan?

A: Wavelet induk didefinisikan sebagai versi normalisasi dari versi translasi (pergeseran) dan dilatasi (skala) dari wavelet induk asli yang memiliki parameter 'a' = 1 & 'b' = 0.