Transformasi wavelet adalah representasi waktu-frekuensi dari sinyal. Sebagai contoh, kita menggunakannya untuk pengurangan noise, ekstraksi fitur atau kompresi sinyal.

Transformasi wavelet dari sinyal kontinu didefinisikan sebagai

[ W ψ f ] ( a , b ) = 1 a ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( t - b a ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}}\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left({\frac {t-b}{a}}\right)}dt\,} ,

di mana

  • ψ {\displaystyle \psi }\psi disebut mother wavelet,
  • a {\displaystyle a}a menunjukkan dilasi wavelet,
  • b {\displaystyle b}{\displaystyle b} menunjukkan pergeseran waktu wavelet dan
  • ∗ {\displaystyle *}{\displaystyle *} simbol menunjukkan konjugat kompleks.

Dalam kasus a = a 0 m {\displaystyle a={a_{0}}^{m}}{\displaystyle a={a_{0}}^{m}} dan b = a 0 m k T {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT} {\displaystyle b={a_{0}}^{m}kT}, di mana a 0 > 1 {\displaystyle a_{0}>1} {\displaystyle a_{0}>1}T > 0 {\displaystyle T>0}{\displaystyle T>0} dan m {\displaystyle m}m dan k {\displaystyle k}k adalah konstanta bilangan bulat, maka transformasi wavelet disebut transformasi wavelet diskrit (dari sinyal kontinu).

Dalam kasus a = 2 m {\displaystyle a=2^{{m}}{\displaystyle a=2^{m}} dan b = 2 m k T {\displaystyle b=2^{m}kT} {\displaystyle b=2^{m}kT}, di mana m > 0 {\displaystyle m>0} {\displaystyle m>0}, transformasi wavelet diskrit disebut dyadic. Hal ini didefinisikan sebagai

[ W ψ f ] ( m , k ) = 1 2 m ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ψ ∗ ( 2 - m t - k T ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)={\frac {1}{\sqrt {2^{m}}}}\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)\psi ^{*}\left(2^{-m}t-kT\right)}dt\,} ,

di mana

  • m {\displaystyle m}m adalah skala frekuensi,
  • k {\displaystyle k}k adalah skala waktu dan
  • T {\displaystyle T}{\displaystyle T} adalah konstanta yang tergantung pada mother wavelet.

Adalah mungkin untuk menulis ulang transformasi wavelet diskrit diadik sebagai

[ W ψ f ] ( m , k ) = ∫ - ∞ ∞ f ( t ) h m ( 2 m k T - t ) d t {\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,}{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](m,k)=\int _{-\infty }^{\infty }{f(t)h_{m}\left(2^{m}kT-t\right)}dt\,} ,

dimana h m {\displaystyle h_{m}}{\displaystyle h_{m}} adalah karakteristik impuls dari filter kontinu yang identik dengan ψ m ∗ {\displaystyle {\psi _{m}}^{*}}{\displaystyle {\psi _{m}}^{*}} untuk m {\displaystyle m} yang diberikanm .

Secara analog, transformasi wavelet dyadic dengan waktu diskrit (dari sinyal diskrit) didefinisikan sebagai