Unit imajiner

Dalam matematika, unit imajiner, atau i, adalah angka yang dapat diwakili oleh persamaan tetapi mengacu pada nilai yang secara fisik tidak dapat eksis dalam kehidupan nyata. Definisi matematis dari satuan imajiner adalah i = - 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}} $i={\sqrt {-1}}$ , yang memiliki sifat i × i = i 2 = - 1 {\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} $i\times i=i^{2}=-1$ .

Alasan saya dibuat adalah untuk menjawab persamaan polinomial, x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0}. $x^{2}+1=0$ yang biasanya tidak memiliki solusi karena nilai x 2 {\displaystyle x^{2}} $x^{2}$ harus sama dengan -1. Meskipun masalahnya dapat dipecahkan, akar kuadrat dari -1 tidak dapat diwakili oleh kuantitas fisik dari benda apapun dalam kehidupan nyata.

Akar kuadrat dari i

Kadang-kadang diasumsikan bahwa seseorang harus membuat bilangan lain untuk menunjukkan akar kuadrat dari i, tetapi itu tidak diperlukan. Akar kuadrat dari i dapat dituliskan sebagai: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}(1+i)} ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)$ .
Hal ini dapat ditunjukkan sebagai:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 {\displaystyle \kiri(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\kanan)^{2}\ } $\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\$	= ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ } $=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	= ( ± 1 ) 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}}(1+i)(1+i)\ } $=(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\$
	= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ } $=1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\$
	= 1 2 ( 2 i ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ } $={\frac {1}{2}}(2i)\$
	= i {\displaystyle = i\ } $=i\$

Powers of i

Kekuatan i mengikuti pola yang bisa diprediksi:

i - 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$

i - 2 = - 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$

i - 1 = - i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$

i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$

i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$

i 2 = - 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$

i 3 = - i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$

i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$

i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$

i 6 = - 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$

Hal ini bisa ditunjukkan dengan pola berikut ini, di mana n adalah sembarang bilangan bulat:

i 4 n = 1 {\displaystyle i^{4n}=1} $i^{4n}=1$

i 4 n + 1 = i {\displaystyle i^{4n+1}=i} $i^{4n+1}=i$

i 4 n + 2 = - 1 {\displaystyle i^{4n+2}=-1} $i^{4n+2}=-1$

i 4 n + 3 = - i {\displaystyle i^{4n+3}=-i} $i^{4n+3}=-i$

Halaman terkait

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan satuan imajiner?

J: Satuan imajiner adalah nilai angka yang hanya ada di luar bilangan real dan digunakan dalam aljabar.

T: Bagaimana kita menggunakan satuan imajiner?

J: Kita mengalikan satuan imajiner dengan bilangan real untuk membuat bilangan imajiner.

T: Untuk apa bilangan imajiner digunakan?

J: Bilangan imajiner dapat digunakan untuk menyelesaikan banyak masalah matematika.

T: Dapatkah kita merepresentasikan bilangan imajiner dengan benda-benda nyata?

J: Tidak, kita tidak bisa merepresentasikan bilangan imajiner dengan benda nyata.

T: Dari mana satuan imajiner berasal?

J: Satuan imajiner berasal dari matematika dan aljabar.

T: Apakah satuan imajiner merupakan bagian dari bilangan real?

J: Tidak, ia ada di luar ranah bilangan real.

T: Bagaimana Anda menghitung bilangan imajiner? J: Anda menghitung bilangan imajiner dengan mengalikan bilangan real dengan unit imajiner.