Teorema bilangan prima
Teorema bilangan prima adalah teorema dari teori bilangan. Bilangan prima tidak terdistribusi secara merata di seluruh rentang bilangan. Teorema ini memformalkan gagasan bahwa probabilitas untuk mendapatkan bilangan prima antara 1 dan angka tertentu menjadi lebih kecil, seiring dengan bertambahnya angka. Probabilitas ini sekitar n/ln(n), di mana ln(n) adalah fungsi logaritma natural. Ini berarti bahwa probabilitas untuk mendapatkan bilangan prima dengan 2n digit adalah sekitar setengah dari kemungkinan dibandingkan dengan n digit. Sebagai contoh, di antara bilangan bulat positif paling banyak 1000 digit, sekitar satu dari 2300 adalah prima (ln 101000 ≈ 2302.6), sedangkan di antara bilangan bulat positif paling banyak 2000 digit, sekitar satu dari 4600 adalah prima (ln 102000 ≈ 4605.2). Dengan kata lain, rata-rata kesenjangan antara bilangan prima yang berurutan di antara N bilangan bulat pertama kira-kira ln(N).
Carl Friedrich Gauss yang berusia lima belas tahun menduga bahwa ada hubungan antara bilangan prima dan logaritma pada tahun 1793. Adrien-Marie Legendre juga mencurigai adanya kaitan tersebut pada tahun 1798. Jacques Hadamard dan Charles-Jean de La Vallée Poussin membuktikan teorema bilangan prima pada tahun 1896, lebih dari satu abad setelah Gauss.
Pertanyaan dan Jawaban
T: Apa yang dimaksud dengan teorema bilangan prima?
J: Teorema bilangan prima adalah sebuah teorema dari teori bilangan yang menjelaskan bagaimana bilangan prima terdistribusi di seluruh rentang bilangan.
T: Apakah bilangan prima terdistribusi secara merata di seluruh rentang bilangan?
J: Tidak, bilangan prima tidak terdistribusi secara merata di seluruh rentang bilangan.
T: Apa yang diformulasikan oleh teorema bilangan prima?
J: Teorema bilangan prima memformulasikan gagasan bahwa probabilitas mendapatkan bilangan prima antara 1 dan bilangan tertentu menjadi lebih kecil seiring bertambahnya bilangan.
T: Berapa probabilitas untuk mendapatkan bilangan prima antara 1 dan bilangan tertentu?
J: Probabilitas untuk mendapatkan bilangan prima antara 1 dan angka tertentu adalah sekitar n/ln(n), di mana ln(n) adalah fungsi logaritma natural.
T: Apakah probabilitas mendapatkan bilangan prima dengan 2n digit lebih besar daripada probabilitas mendapatkan bilangan prima dengan n digit?
J: Tidak, probabilitas mendapatkan bilangan prima dengan 2n digit adalah sekitar setengah dari probabilitas mendapatkan bilangan prima dengan n digit.
T: Siapa yang membuktikan teorema bilangan prima?
J: Jacques Hadamard dan Charles-Jean de La Vallée Poussin membuktikan teorema bilangan prima pada tahun 1896, lebih dari seabad setelah Gauss menduga adanya hubungan antara bilangan prima dan logaritma pada tahun 1793.
T: Berapa jarak rata-rata antara bilangan prima yang berurutan di antara N bilangan bulat pertama?
J: Jarak rata-rata antara bilangan prima yang berurutan di antara N bilangan bulat pertama adalah sekitar ln(N).
