Parallelepiped

Salah satu dari tiga pasang sisi paralel bisa dipandang sebagai bidang dasar prisma. Parallelepiped memiliki tiga set empat sisi paralel; sisi-sisi dalam setiap set memiliki panjang yang sama.

Parallelepiped dihasilkan dari transformasi linear dari sebuah kubus (untuk kasus non-degenerasi: transformasi linear bijektif).

Karena setiap muka memiliki simetri titik, parallelepiped adalah zonohedron. Juga seluruh parallelepiped memiliki simetri titik C_i (lihat juga triklinik). Setiap wajah, dilihat dari luar, adalah bayangan cermin dari wajah yang berlawanan. Wajah-wajahnya secara umum bersifat kiral, tetapi parallelepiped tidak.

Pengubinan ruang-mengisi dimungkinkan dengan salinan kongruen dari setiap paralelepiped.

Volume sebuah parallelepiped adalah hasil kali luas alas A dan tingginya h. Alasnya adalah salah satu dari enam permukaan parallelepiped. Ketinggian adalah jarak tegak lurus antara alas dan permukaan yang berlawanan.

Sebuah metode alternatif mendefinisikan vektor-vektor a = (a₁ , a₂ , a₃ ), b = (b₁ , b₂ , b₃ ) dan c = (c₁ , c₂ , c₃ ) untuk merepresentasikan tiga sisi yang bertemu pada satu simpul. Volume dari paralelepiped kemudian sama dengan nilai absolut dari hasil kali skalar tiga a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | {\displaystyle V=\kiri|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\kiri|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \kali \mathbf {b} )\right|}

Hal ini benar, karena, jika kita memilih b dan c untuk mewakili sisi-sisi alas, maka luas alas, menurut definisi hasil kali silang (lihat arti geometris dari hasil kali silang),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\displaystyle A=\kiri|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

di mana θ adalah sudut antara b dan c, dan tingginya adalah

h = | a | cos α , {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

di mana α adalah sudut internal antara a dan h.

Dari gambar, kita bisa menyimpulkan bahwa besarnya α terbatas pada 0° ≤ α < 90°. Sebaliknya, vektor b × c dapat terbentuk dengan sudut internal β lebih besar dari 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Yaitu, karena b × c sejajar dengan h, nilai β adalah β = α atau β = 180° - α. Jadi

cos α = ± cos β = | cos β | , {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\kiri|\cos \beta \kanan|,}

dan

h = | a | | cos β | . {\displaystyle h=\kiri|\mathbf {a} \right|\kiri|\cos \beta \right|. }

Kami menyimpulkan bahwa

V = A h = | a | | b × c | | cos β | , {\displaystyle V=Ah=\kiri|\mathbf {a} \kanan|\kiri|\mathbf {b} \kali \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

yang, menurut definisi produk skalar (atau dot), setara dengan nilai absolut dari a - (b × c), Q.E.D.

Ekspresi yang terakhir ini juga ekivalen dengan nilai absolut determinan dari matriks tiga dimensi yang dibangun dengan menggunakan a, b dan c sebagai baris (atau kolom):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Hal ini ditemukan dengan menggunakan Aturan Cramer pada tiga matriks dua dimensi tereduksi yang ditemukan dari aslinya.

Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi paralelepiped, dan α, β, dan γ adalah sudut internal di antara sisi-sisi, volumenya adalah

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}. }

Tetrahedron yang sesuai

Volume tetrahedron yang berbagi tiga sisi konvergen dari sebuah parallelepiped memiliki volume yang sama dengan seperenam dari volume parallelepiped tersebut (lihat bukti).

Untuk paralelepiped dengan bidang simetri, ada dua kasus:

• memiliki empat wajah persegi panjang
• memiliki dua wajah belah ketupat, sementara dari wajah-wajah lainnya, dua wajah yang berdekatan adalah sama dan dua lainnya juga (dua pasang adalah bayangan cermin satu sama lain).

Lihat juga monoklinik.

Kubus persegi panjang, juga disebut paralelepiped persegi panjang atau kadang-kadang hanya kubus, adalah paralelepiped yang semua wajahnya berbentuk persegi panjang; kubus adalah kubus dengan wajah persegi.

Sebuah rhombohedron adalah paralelepiped dengan semua wajah belah ketupat; trigonal trapezohedron adalah rhombohedron dengan wajah-wajah belah ketupat yang kongruen.

Paralelepiped sempurna adalah paralelepiped dengan sisi-sisi panjang bilangan bulat, diagonal muka, dan diagonal ruang. Pada tahun 2009, lusinan parallelepiped sempurna terbukti ada, menjawab pertanyaan terbuka Richard Guy. Salah satu contohnya memiliki sisi-sisi 271, 106, dan 103, diagonal-diagonal muka minor 101, 266, dan 255, diagonal-diagonal muka mayor 183, 312, dan 323, dan diagonal-diagonal ruang 374, 300, 278, dan 272.

Beberapa paralelopiped sempurna yang memiliki dua muka persegi panjang telah diketahui. Tetapi tidak diketahui apakah ada yang memiliki semua permukaan persegi panjang; kasus seperti itu akan disebut kubus sempurna.

Coxeter menyebut generalisasi paralelepiped dalam dimensi yang lebih tinggi sebagai paralelotop.

Khususnya dalam ruang n-dimensi, disebut paralelotop n-dimensi, atau hanya n-paralelotop. Jadi, jajar genjang adalah paralelotop 2 dan paralelepiped adalah paralelotop 3.

Secara lebih umum paralelotop, atau paralelotop voronoi, memiliki segi-segi berlawanan yang paralel dan kongruen. Jadi paralelotop 2 adalah paralelogon yang juga dapat mencakup segi enam tertentu, dan paralelotop 3 adalah paralelohedron, termasuk 5 jenis polyhedra.

Diagonal-diagonal dari n-paralelotop berpotongan pada satu titik dan dibagi dua oleh titik ini. Pembalikan di titik ini membuat n-paralelotop tidak berubah. Lihat juga titik-titik tetap dari grup isometri di ruang Euclidean.

Sisi-sisi yang memancar dari satu simpul dari k-parallelotope membentuk sebuah k-bingkai ( v 1 , ... , v n ) {\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} dari ruang vektor, dan parallelotope dapat dipulihkan dari vektor-vektor ini, dengan mengambil kombinasi linear dari vektor-vektor, dengan bobot antara 0 dan 1.

Volume-n dari n-paralelotop yang tertanam dalam R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} di mana m ≥ n {\displaystyle m\geq n} dapat dihitung dengan menggunakan determinan Gram. Atau, volume adalah norma dari produk eksterior dari vektor-vektor:

V = ‖v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|. }

Jika m = n, ini sama dengan nilai absolut determinan dari n vektor.

Rumus lain untuk menghitung volume dari n-paralelotop P di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}} , yang n + 1 simpulnya adalah V 0 , V 1 , ... , V n {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}} adalah

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , .... , [ V n 1 ] T ) | , {\displaystyle {\rm {Vol}}}(P)=||{\rm {det}}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}}})|,}

dimana [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} adalah vektor baris yang dibentuk oleh penggabungan dari V i {\displaystyle V_{i}} dan 1. Memang, determinan tidak berubah jika [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} dikurangkan dari [ V i 1 ] {\displaystyle [V_{i}\ 1]} (i > 0), dan menempatkan [ V 0 1 ] {\displaystyle [V_{0}\ 1]} pada posisi terakhir hanya mengubah tandanya.

Demikian pula, volume dari setiap n-simplex yang berbagi n sisi-sisi konvergen dari paralelotop memiliki volume yang sama dengan 1 1/n! dari volume paralelotop tersebut.

Kata tersebut muncul sebagai parallelipipedon dalam terjemahan Sir Henry Billingsley dari Euclid's Elements, tertanggal 1570. Dalam edisi 1644 dari Cursus mathematicus-nya, Pierre Hérigone menggunakan ejaan parallelepipipedum. Kamus Bahasa Inggris Oxford mengutip paralelepipedum masa kini sebagai yang pertama kali muncul dalam Chorea gigantum karya Walter Charleton (1663).

Kamus Charles Hutton (1795) menunjukkan paralelopiped dan paralelopipedon, menunjukkan pengaruh bentuk penggabungan paralelo-, seolah-olah elemen kedua adalah pipedon daripada epipedon. Noah Webster (1806) memasukkan ejaan parallelopiped. Edisi 1989 dari Oxford English Dictionary menjelaskan parallelopiped (dan parallelipipiped) secara eksplisit sebagai bentuk yang salah, tetapi ini terdaftar tanpa komentar dalam edisi 2004, dan hanya pengucapan dengan penekanan pada suku kata kelima pi (/paɪ/) yang diberikan.

Perubahan dari pengucapan tradisional telah menyembunyikan partisi yang berbeda yang disarankan oleh akar bahasa Yunani, dengan epi- ("pada") dan pedon ("tanah") bergabung untuk memberikan epiped, "bidang" datar. Dengan demikian, wajah-wajah paralelepiped adalah planar, dengan wajah-wajah yang berlawanan menjadi paralel.