Determinan

Ada beberapa cara untuk memahami apa yang dikatakan determinan tentang matriks.

Interpretasi geometris

Sebuah matriks n × n {\displaystyle n} dapat dipandang sebagai menggambarkan sebuah peta linear dalam n {\displaystyle n} dimensi. Dalam hal ini, determinan memberitahukan kepada Anda faktor yang digunakan matriks ini untuk menskalakan (memperbesar atau memperkecil) suatu wilayah dalam ruang berdimensi n {\\displaystyle n} .

Sebagai contoh, sebuah matriks A {\displaystyle 2\times 2} 2 × 2 {\displaystyle A}  yang dipandang sebagai peta linear, akan mengubah sebuah bujur sangkar dalam ruang 2-dimensi menjadi sebuah jajaran genjang. Luas jajar genjang itu akan menjadi det ( A ) {\displaystyle \det(A)} kali lebih besar daripada luas persegi.

Dengan cara yang sama, sebuah matriks B {\displaystyle 3\times 3}  , dipandang sebagai peta linear, akan mengubah sebuah kubus dalam ruang 3-dimensi menjadi sebuah parallelepiped. Volume parallelepiped itu akan menjadi det ( B ) {\displaystyle \det(B)} kali lebih besar daripada volume kubus.

Determinan bisa negatif. Peta linear bisa meregangkan dan menskalakan suatu volume, tetapi juga bisa merefleksikannya di atas suatu sumbu. Kapanpun ini terjadi, tanda determinan berubah dari positif ke negatif, atau dari negatif ke positif. Determinan negatif berarti volume dicerminkan pada jumlah sumbu yang ganjil.

Interpretasi "Sistem persamaan"

Anda dapat melihat sebuah matriks sebagai menggambarkan sebuah sistem persamaan linear. Sistem tersebut memiliki solusi non-trivial yang unik persis ketika determinannya bukan 0. (Non-trivial berarti solusinya bukan hanya semua nol.)

Jika determinannya nol, maka tidak ada solusi non-trivial yang unik, atau ada banyak sekali.

Sebuah matriks memiliki matriks invers tepat ketika determinannya bukan 0. Untuk alasan ini, sebuah matriks dengan determinan bukan nol disebut invertible. Jika determinannya 0, maka matriks tersebut disebut non-invertible atau singular.

Secara geometris, Anda dapat menganggap matriks tunggal sebagai "meratakan" paralelepiped menjadi jajaran genjang, atau jajaran genjang menjadi garis. Maka volume atau luasnya adalah 0, dan tidak ada peta linear yang akan mengembalikan bentuk lama.

Ada beberapa cara untuk menghitung determinan.

Rumus untuk matriks kecil

• Untuk matriks 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1} dan 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} , Anda dapat mengingat rumusnya:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc. }

• Untuk matriks 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} , rumusnya adalah:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\displaystyle {\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}}

Anda bisa menggunakan Aturan Sarrus (lihat gambar) untuk mengingat rumus ini.

Ekspansi kofaktor

Untuk matriks yang lebih besar, determinan lebih sulit untuk dihitung. Salah satu cara untuk melakukannya disebut ekspansi kofaktor.

Katakanlah kita mempunyai sebuah matriks A {\displaystyle n\times n}  . Pertama, kita pilih baris atau kolom dari matriks tersebut. Untuk setiap bilangan a i j {\displaystyle a_{ij}} dalam baris atau kolom tersebut, kita menghitung sesuatu yang disebut kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}}. . Maka det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle \det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}} . .

Untuk menghitung kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}}. , kita hapus baris i {\displaystyle i} dan kolom j {\displaystyle j} dari matriks A {\displaystyle A} . Hal ini memberikan kita sebuah matriks {\displaystyle (n - 1) × (n - 1) yang lebih kecil {\displaystyle (n - 1) . Kita menyebutnya M {\displaystyle M} . Kofaktor C i j {\displaystyle C_{ij}} kemudian sama dengan ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}\det(M)} .

Berikut ini adalah contoh ekspansi kofaktor dari kolom kiri dari matriks 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} :

det [ 1 3 2 2 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = - 11. {\displaystyle {\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\warna {merah}1}&3&2\\{\warna {merah}2}&1&1\\{\warna {merah}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\kiri({\warna {merah}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}}\right)+\kiri({\warna {merah}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}}\right)\\&=({\warna {merah}1}\cdot 1\cdot 1)+({\warna {merah}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\warna {merah}0}\\&=-11.\end{aligned}}}}

Seperti yang anda lihat di sini, kita bisa menghemat pekerjaan dengan memilih baris atau kolom yang memiliki banyak angka nol. Jika a i j {\displaystyle a_{ij}} adalah 0, kita tidak perlu menghitung C i j {\displaystyle C_{ij}}. .

• Volume