Identitas Euler

Identitas Euler, kadang-kadang disebut persamaan Euler, adalah persamaan ini:

e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π {\displaystyle \pi } $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159} $\pi \approx 3.14159$

e {\displaystyle e} $e$ , Bilangan Euler

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , satuan imajiner

ı = √ - 1 {\displaystyle \imath =\surd {-1}} $\imath =\surd {-1}$

Identitas Euler diambil dari nama matematikawan Swiss Leonard Euler. Tidak jelas bahwa ia menemukannya sendiri.

Responden jajak pendapat Dunia Fisika menyebut identitas tersebut sebagai "pernyataan matematika paling mendalam yang pernah ditulis", "luar biasa dan luhur", "penuh dengan keindahan kosmik" dan "menakjubkan".

Bukti matematis dari Identitas Euler menggunakan Deret Taylor

Banyak persamaan yang dapat dituliskan sebagai deret suku-suku yang dijumlahkan. Ini disebut deret Taylor

Fungsi Eksponensial e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ dapat ditulis sebagai deret Taylor

e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{{3} \over {3!}}+{x^{{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Selain itu, Sinus bisa ditulis sebagai

sin x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \lebih dari 3!}+{x^{{5} \lebih dari 5!}-{x^{{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

dan Cosinus sebagai

cos x = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \lebih dari 2!}+{x^{{{4} \over 4!}-{x^{{6} \over 6!} \cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Di sini, kita melihat sebuah pola yang terbentuk. e x {\displaystyle e^{x}} $e^{x}$ kelihatannya merupakan penjumlahan dari deret Taylor sinus dan cosinus, kecuali dengan semua tanda yang diubah menjadi positif. Identitas yang sebenarnya kita buktikan adalah e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Jadi, di sisi kiri adalah e i x {\displaystyle e^{ix}} $e^{ix}$ yang deret Taylornya adalah 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \lebih dari 2!}-{ix^{{3} \over 3!}+{x^{{{4} \over 4!}+{ix^{{{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Kita bisa melihat sebuah pola di sini, bahwa setiap suku kedua adalah i kali suku-suku sinus, dan suku-suku lainnya adalah suku-suku kosinus.

Di sisi kanan adalah cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , yang deret Taylornya adalah deret Taylor dari cosinus, ditambah i kali deret Taylor dari sinus, yang dapat ditunjukkan sebagai:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

jika kita menambahkan ini bersama-sama, kita memiliki

1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \lebih dari 2!}-{ix^{{3} \over 3!}+{x^{{{4} \over 4!}+{ix^{{{5} \over 5!}\cdots } $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Oleh karena itu:

e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Sekarang jika kita mengganti x dengan π {\displaystyle \pi } $\pi$ , kita memiliki ..

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Kemudian kita tahu bahwa

cos ( π ) = - 1 {\displaystyle \cos(\pi )=-1} $\cos(\pi )=-1$

dan

sin ( π ) = 0 {\displaystyle \sin(\pi )=0} $\sin(\pi )=0$

Oleh karena itu:

e i π = 0 - 1 {\displaystyle e^{i\pi }=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan identitas Euler?

J: Identitas Euler, kadang-kadang disebut persamaan Euler, adalah persamaan yang menampilkan konstanta matematika pi, Bilangan Euler, dan unit imajiner bersama dengan tiga operasi matematika dasar (penjumlahan, perkalian, dan eksponensial). Persamaannya adalah e^(i*pi) + 1 = 0.

T: Siapakah Leonard Euler?

J: Leonard Euler adalah seorang matematikawan Swiss yang menjadi nama identitasnya. Tidak jelas apakah ia menemukannya sendiri.

T: Apa saja reaksi terhadap identitas Euler?

J: Responden jajak pendapat Dunia Fisika menyebut identitas itu sebagai "pernyataan matematika paling mendalam yang pernah ditulis", "luar biasa dan luhur", "penuh dengan keindahan kosmik" dan "menakjubkan".

T: Apa saja konstanta yang ditampilkan dalam persamaan ini?

J: Konstanta-konstanta yang ditampilkan dalam persamaan ini adalah pi (sekitar 3.14159), Bilangan Euler (sekitar 2.71828) dan satuan imajiner (sama dengan -1).

T: Apa saja operasi yang ditampilkan dalam persamaan ini?

J: Operasi-operasi yang ditampilkan dalam persamaan ini adalah penjumlahan, perkalian, dan eksponensial.

T: Bagaimana kita bisa mengekspresikan pi secara matematis?

J: Pi dapat dinyatakan secara matematis sebagai π ≈ 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159}.

T: Bagaimana kita bisa mengekspresikan Bilangan Euler secara matematis? J: Bilangan Euler dapat dinyatakan secara matematis sebagai e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\approx 2.71828}.