Meskipun cara yang lebih rumit untuk menghitung metrik Schwarzschild dapat ditemukan dengan menggunakan simbol Christoffel, dapat juga diturunkan dengan menggunakan persamaan untuk kecepatan lepas ( v e {\displaystyle v_{e}}}
), dilatasi waktu (dt'), kontraksi panjang (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
(1)
v adalah kecepatan partikel
G adalah konstanta gravitasi
M adalah massa lubang hitam
r adalah seberapa dekat partikel dengan objek berat
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
(3)
dt' adalah perubahan waktu partikel yang sebenarnya
dt adalah perubahan waktu partikel
dr' adalah jarak sebenarnya yang ditempuh
dr adalah perubahan jarak partikel
v adalah kecepatan partikel
c adalah kecepatan cahaya
Catatan: interval waktu yang sebenarnya dan jarak sebenarnya yang ditempuh oleh partikel berbeda dari waktu dan jarak yang dihitung dalam perhitungan fisika klasik, karena partikel ini bergerak dalam medan gravitasi yang begitu berat!
Menggunakan persamaan untuk ruang-waktu datar dalam koordinat bola:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds adalah jalur partikel
θ {\displaystyle \theta }
adalah sudut
d θ {\displaystyle \theta } dan d ϕ {\displaystyle \phi }
adalah perubahan sudut
Memasukkan persamaan untuk escape velocity, dilatasi waktu, dan kontraksi panjang (persamaan 1, 2, dan 3) ke dalam persamaan untuk ruang-waktu datar (persamaan 4), untuk mendapatkan metrik Schwarzschild:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Dari persamaan ini kita dapat mengambil radius Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}}
), radius lubang hitam ini. Meskipun ini paling umum digunakan untuk menggambarkan lubang hitam Schwarzschild, radius Schwarzschild dapat dihitung untuk objek berat apa pun.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} adalah batas radius yang ditetapkan dari objek
