Metrik Schwarzschild
Metrik Schwarzschild dihitung oleh Karl Schwarzschild sebagai solusi untuk persamaan medan Einstein pada tahun 1916. Juga dikenal sebagai solusi Schwarzschild, ini adalah persamaan dari relativitas umum di bidang astrofisika. Metrik mengacu pada persamaan yang menggambarkan ruang-waktu; khususnya, metrik Schwarzschild menggambarkan medan gravitasi di sekitar lubang hitam Schwarzschild - lubang hitam bulat yang tidak berputar tanpa medan magnet, dan di mana konstanta kosmologisnya nol.
Ini pada dasarnya adalah persamaan yang menggambarkan bagaimana sebuah partikel bergerak melalui ruang di dekat lubang hitam.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
Turunan
Meskipun cara yang lebih rumit untuk menghitung metrik Schwarzschild dapat ditemukan dengan menggunakan simbol Christoffel, dapat juga diturunkan dengan menggunakan persamaan untuk kecepatan lepas ( v e {\displaystyle v_{e}}}
), dilatasi waktu (dt'), kontraksi panjang (dr'):
v e = v = 2 G M r {\displaystyle v_{e}=v={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}
(1)
v adalah kecepatan partikel
G adalah konstanta gravitasi
M adalah massa lubang hitam
r adalah seberapa dekat partikel dengan objek berat
d t ′ = d t 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dt'=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}
(2)
d r ′ = d r 1 - v 2 c 2 {\displaystyle dr'={\frac {dr}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
(3)
dt' adalah perubahan waktu partikel yang sebenarnya
dt adalah perubahan waktu partikel
dr' adalah jarak sebenarnya yang ditempuh
dr adalah perubahan jarak partikel
v adalah kecepatan partikel
c adalah kecepatan cahaya
Catatan: interval waktu yang sebenarnya dan jarak sebenarnya yang ditempuh oleh partikel berbeda dari waktu dan jarak yang dihitung dalam perhitungan fisika klasik, karena partikel ini bergerak dalam medan gravitasi yang begitu berat!
Menggunakan persamaan untuk ruang-waktu datar dalam koordinat bola:
( d s ) 2 = - c 2 ( d t ) 2 + ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{2}(dt)^{2}+(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}} 
(4)
ds adalah jalur partikel
θ {\displaystyle \theta }
adalah sudut
d θ {\displaystyle \theta } dan d ϕ {\displaystyle \phi }
adalah perubahan sudut
Memasukkan persamaan untuk escape velocity, dilatasi waktu, dan kontraksi panjang (persamaan 1, 2, dan 3) ke dalam persamaan untuk ruang-waktu datar (persamaan 4), untuk mendapatkan metrik Schwarzschild:
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) ( d t ) 2 + ( d r ) 2 ( 1 - 2 G M r c 2 ) + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})(dt)^{2}}+{\frac {(dr)^{2}}{(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}})}}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(5)
Dari persamaan ini kita dapat mengambil radius Schwarzschild ( r s {\displaystyle r_{s}}}
), radius lubang hitam ini. Meskipun ini paling umum digunakan untuk menggambarkan lubang hitam Schwarzschild, radius Schwarzschild dapat dihitung untuk objek berat apa pun.
( d s ) 2 = - c 2 ( 1 - r s r ) ( d t ) 2 + 1 ( 1 - r s r ) ( d r ) 2 + r 2 ( d θ ) 2 + r 2 sin 2 ( θ ) ( d ϕ ) 2 {\displaystyle (ds)^{2}=-c^{{2}(1-{\frac {r_{s}}{r}})(dt)^{2}+{\frac {1}{(1-{\frac {r_{s}}{r}}})}}(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta )(d\phi )^{2}}} 
(6)
r s {\displaystyle r_{s}} adalah batas radius yang ditetapkan dari objek
Pertanyaan dan Jawaban
T: Apa yang dimaksud dengan metrik Schwarzschild?
J: Metrik Schwarzschild adalah sebuah persamaan dari relativitas umum di bidang astrofisika yang menggambarkan bagaimana sebuah partikel bergerak melalui ruang di dekat lubang hitam. Metrik ini dihitung oleh Karl Schwarzschild sebagai solusi untuk persamaan medan Einstein pada tahun 1916.
T: Apa yang dimaksud dengan metrik?
J: Metrik mengacu pada persamaan yang menggambarkan ruang-waktu; khususnya, metrik Schwarzschild menggambarkan medan gravitasi di sekitar lubang hitam Schwarzschild.
T: Apa saja karakteristik lubang hitam Schwarzschild?
J: Lubang hitam Schwarzschild tidak berotasi, berbentuk bola, dan tidak memiliki medan magnet. Selain itu, konstanta kosmologinya nol.
T: Bagaimana kita bisa menggambarkan medan gravitasi di sekitar lubang hitam Schwarzschild?
J: Kita bisa menggambarkannya dengan menggunakan persamaan metrik Schwartzchild yang menggambarkan bagaimana partikel bergerak di ruang angkasa di dekat lubang hitam jenis ini.
T: Siapa yang pertama kali menghitung persamaan ini?
J: Karl Schwartzchild pertama kali menghitung persamaan ini sebagai solusi untuk persamaan medan Einstein pada tahun 1916.
T: Apa yang diwakili oleh (ds)^2 dalam persamaan ini?
J: (ds)^2 mewakili jarak antara dua titik pada ruang-waktu yang diukur sehubungan dengan koordinat ruang dan waktu.
