Poincaré conjecture
Konjektur Poincaré adalah pertanyaan tentang bola dalam matematika. Konjektur ini dinamai Henri Poincaré, matematikawan dan fisikawan Prancis yang merumuskannya pada tahun 1904.
Bola (juga disebut 2-bola, karena merupakan permukaan 2-dimensi, meskipun biasanya dilihat sebagai di dalam ruang tiga dimensi) memiliki sifat bahwa setiap lingkaran di atasnya dapat dikontrak ke suatu titik (jika karet gelang dililitkan di sekitar bola, adalah mungkin untuk menggesernya ke bawah ke suatu titik). Para matematikawan mengatakan bahwa 2-sphere hanya terhubung. Ruang lain tidak memiliki sifat ini, misalnya donat: karet gelang yang melingkari seluruh donat sekali tidak dapat digeser ke bawah ke suatu titik tanpa meninggalkan permukaan.
Para matematikawan tahu bahwa sifat ini unik untuk 2-bola, dalam arti bahwa setiap ruang lain yang hanya terhubung yang tidak memiliki tepi dan cukup kecil (dalam istilah matematikawan, yaitu kompak) sebenarnya adalah 2-bola. Namun, hal ini tidak lagi benar jika kita menghilangkan gagasan tentang kecilnya, karena bidang besar tak terhingga juga terhubung secara sederhana. Juga, sebuah cakram biasa (lingkaran dan interiornya) terhubung secara sederhana, tetapi memiliki tepi (lingkaran pembatas).
Dugaan ini menanyakan apakah hal yang sama berlaku untuk 3-sphere, yang merupakan objek yang hidup secara alami dalam empat dimensi. Pertanyaan ini memotivasi banyak matematika modern, terutama di bidang topologi. Pertanyaan ini akhirnya diselesaikan pada tahun 2002 oleh Grigori Perelman, seorang matematikawan Rusia, dengan metode dari geometri, menunjukkan bahwa itu memang benar. Dia dianugerahi Fields Medal dan Millennium Prize senilai $1 juta untuk karyanya, yang keduanya dia tolak.
Dugaan Poincaré juga dapat diperluas ke dimensi yang lebih tinggi: ini adalah dugaan Poincaré yang digeneralisasikan. Anehnya, lebih mudah untuk membuktikan fakta untuk bola berdimensi lebih tinggi: Pada tahun 1960, Smale membuktikan bahwa fakta ini benar untuk 5-bola, 6-bola, dan yang lebih tinggi. Pada tahun 1982, Freedman membuktikan bahwa hal itu juga benar untuk 4-bola, dan untuk itu ia dianugerahi Fields Medal.
Pertanyaan dan Jawaban
T: Apa yang dimaksud dengan Dugaan Poincaré?
J: Dugaan Poincaré adalah sebuah pertanyaan tentang bola dalam matematika, dinamai sesuai nama Henri Poincaré, yang menanyakan apakah sifat-sifat tertentu pada bola-2 juga berlaku untuk bola-3.
T: Sifat apa yang dimiliki oleh bola-2?
J: Bola-2 memiliki sifat bahwa setiap lingkaran di atasnya dapat dikontraksikan ke suatu titik.
T: Apakah properti ini unik untuk 2-bola?
J: Sifat ini unik untuk 2-bola dalam hal ruang kecil yang tidak memiliki tepi. Namun, sebuah bidang yang sangat besar dan cakram biasa (lingkaran dan interiornya) keduanya hanya terhubung secara sederhana tetapi keduanya memiliki sisi.
T: Siapa yang membuktikan bahwa hal itu benar untuk bidang berdimensi lebih tinggi?
J: Pada tahun 1960, Smale membuktikan bahwa hal itu benar untuk bidang 5 dimensi, 6 dimensi, dan yang lebih tinggi, dan pada tahun 1982, Freedman membuktikan bahwa hal itu juga benar untuk bidang 4 dimensi.
T: Siapa yang memecahkan dugaan Poincaré?
J: Dugaan Poincaré dipecahkan oleh Grigori Perelman, seorang ahli matematika Rusia yang menggunakan metode dari geometri untuk menunjukkan bahwa dugaan tersebut memang benar.
T: Penghargaan apa yang diterima Perelman untuk karyanya?
J: Perelman menerima Medali Fields dan Hadiah Milenium sebesar $1 juta untuk karyanya dalam memecahkan dugaan Poincaré; namun ia menolak kedua penghargaan tersebut.
