Metode Newton

Pengarang: Leandro Alegsa

18-05-2022

Metode Newton menyediakan cara untuk menemukan nol nyata dari suatu fungsi. Algoritma ini kadang-kadang disebut metode Newton-Raphson, dinamai menurut Sir Isaac Newton dan Joseph Raphson.

Metode ini menggunakan turunan fungsi untuk menemukan akarnya. "Nilai tebakan" awal untuk lokasi nol harus dibuat. Dari nilai ini, tebakan baru dihitung dengan rumus ini:

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}} $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

Di sini x_n adalah tebakan awal dan x_n+1 adalah tebakan berikutnya. Fungsi f (yang nolnya sedang dipecahkan) memiliki turunan f'.

Dengan berulang kali menerapkan rumus ini pada tebakan yang dihasilkan (yaitu dengan menetapkan nilai x_n ke output rumus dan menghitung ulang), nilai tebakan akan mendekati nol dari fungsi.

Metode Newton dapat dijelaskan secara grafis dengan melihat perpotongan garis-garis singgung dengan sumbu x. Pertama, garis singgung garis ke f pada x_n dihitung. Berikutnya, ditemukan perpotongan antara garis singgung ini dan sumbu-x. Akhirnya, posisi-x dari perpotongan ini dicatat sebagai tebakan berikutnya, x_n+1 .

Fungsi (biru) sedang digunakan untuk menghitung kemiringan garis singgung (merah) pada xn .

Masalah dengan Metode Newton

Metode Newton dapat menemukan solusi dengan cepat jika nilai tebakan awal cukup dekat dengan akar yang diinginkan. Namun, bila nilai tebakan awal tidak dekat, dan tergantung pada fungsinya, metode Newton mungkin menemukan jawabannya dengan lambat atau tidak sama sekali.

Bacaan Lebih Lanjut

Fernández, J. A. E., & Verón, M. Á. H. (2017). Metode Newton: Pendekatan terbaru dari teori Kantorovich. Birkhäuser.
Peter Deuflhard, Metode Newton untuk Masalah Nonlinear. Invariansi Affine dan Algoritma Adaptif, Edisi cetakan kedua. Seri Matematika Komputasi 35, Springer (2006)
Yamamoto, T. (2001). "Perkembangan Historis dalam Analisis Konvergensi untuk Metode Newton dan Metode Newton-like". Dalam Brezinski, C.; Wuytack, L. (eds.). Numerical Analysis : Perkembangan Historis di Abad ke-20. North-Holland. pp. 241-263.

Lihat Juga

Teorema Kantorovich (Pernyataan tentang konvergensi metode Newton, ditemukan oleh Leonid Kantorovich)

Kontrol otoritas

LCCN: sh92005466

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa itu metode Newton?

J: Metode Newton adalah algoritma untuk menemukan nol nyata dari suatu fungsi. Metode ini menggunakan turunan dari fungsi untuk menghitung akar-akarnya, dan membutuhkan nilai tebakan awal untuk lokasi nol.

T: Siapa yang mengembangkan metode ini?

J: Metode ini dikembangkan oleh Sir Isaac Newton dan Joseph Raphson, oleh karena itu kadang-kadang disebut metode Newton-Raphson.

T: Bagaimana cara kerja algoritma ini?

J: Algoritma ini bekerja dengan berulang kali menerapkan rumus yang mengambil nilai tebakan awal (xn) dan menghitung tebakan baru (xn+1). Dengan mengulangi proses ini, tebakan akan mendekati nol dari fungsi.

T: Apa yang diperlukan untuk menggunakan algoritma ini?

J: Untuk menggunakan algoritma ini, Anda harus memiliki "nilai tebakan" awal untuk lokasi nol serta pengetahuan tentang turunan dari fungsi yang Anda berikan.

T: Bagaimana kita bisa menjelaskan Metode Newton secara grafis?

J: Kita dapat menjelaskan Metode Newton secara grafis dengan melihat perpotongan antara garis-garis singgung dengan sumbu-x. Pertama, garis yang bersinggungan dengan f di xn dihitung. Selanjutnya, kita mencari perpotongan antara garis singgung ini dengan sumbu-x dan mencatat posisi-x-nya sebagai tebakan kita berikutnya - xn+1.

T: Apakah ada batasan ketika menggunakan Metode Newton?

J: Ya, jika nilai tebakan awal Anda terlalu jauh dari akar yang sebenarnya, maka metode ini mungkin membutuhkan waktu yang lebih lama atau bahkan gagal konvergen ke arah akar karena osilasi di sekitarnya atau divergensi yang menjauh darinya.