Hukum bilangan besar

Pengarang: Leandro Alegsa

18-06-2022

Hukum bilangan besar (LLN) adalah teorema dari statistik. Pertimbangkan beberapa proses di mana hasil acak terjadi. Misalnya, variabel acak diamati berulang kali. Maka rata-rata dari nilai yang diamati akan stabil, dalam jangka panjang. Ini berarti bahwa dalam jangka panjang, rata-rata nilai yang diamati akan semakin mendekati nilai yang diharapkan.

Ketika melempar dadu, angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 adalah hasil yang mungkin terjadi. Semuanya memiliki kemungkinan yang sama. Rata-rata populasi (atau "nilai yang diharapkan") dari hasil-hasilnya adalah:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5.

Grafik berikut ini menunjukkan hasil dari percobaan pelemparan sebuah dadu. Dalam eksperimen ini dapat dilihat bahwa rata-rata dari lemparan dadu bervariasi secara liar pada awalnya. Seperti yang diprediksi oleh LLN, rata-rata stabil di sekitar nilai yang diharapkan yaitu 3.5 ketika jumlah pengamatan menjadi besar.

A demonstration of the Law of Large Numbers using die rolls

Sejarah

Jacob Bernoulli pertama kali menjelaskan LLN. Dia mengatakan bahwa hal itu sangat sederhana sehingga bahkan orang yang paling bodoh sekalipun secara naluriah tahu bahwa itu benar. Meskipun demikian, dia membutuhkan waktu lebih dari 20 tahun untuk mengembangkan bukti matematis yang baik. Begitu dia menemukannya, dia menerbitkan bukti tersebut dalam Ars Conjectandi (Seni Menduga) pada tahun 1713. Dia menamai ini sebagai "Teorema Emas". Teorema ini kemudian dikenal secara umum sebagai "Teorema Bernoulli" (jangan dikelirukan dengan Hukum Fisika dengan nama yang sama.) Pada tahun 1835, S.D. Poisson lebih lanjut mendeskripsikannya dengan nama "La loi des grands nombres" (Hukum bilangan besar). Setelah itu, hukum ini dikenal dengan kedua nama tersebut, tetapi "Hukum bilangan besar" yang paling sering digunakan.

Matematikawan lain juga berkontribusi untuk membuat hukum menjadi lebih baik. Beberapa di antaranya adalah Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli dan Kolmogorov. Setelah penelitian-penelitian ini, sekarang ada dua bentuk hukum yang berbeda: Yang satu disebut hukum "lemah" dan yang lainnya hukum "kuat". Bentuk-bentuk ini tidak menggambarkan hukum yang berbeda. Mereka memiliki cara yang berbeda untuk menggambarkan konvergensi probabilitas yang diamati atau diukur ke probabilitas yang sebenarnya. Bentuk hukum yang kuat mengimplikasikan hukum yang lemah.

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan hukum bilangan besar?

J: Hukum bilangan besar adalah sebuah teorema statistik yang menyatakan bahwa jika sebuah proses acak diamati secara berulang-ulang, maka rata-rata dari nilai-nilai yang diamati akan stabil dalam jangka panjang.

T: Apa yang dimaksud dengan hukum bilangan besar?

J: Hukum bilangan besar berarti bahwa seiring bertambahnya jumlah pengamatan, rata-rata nilai yang diamati akan semakin mendekati nilai yang diharapkan.

T: Apa yang dimaksud dengan nilai harapan?

J: Nilai harapan adalah rata-rata populasi dari hasil proses acak.

T: Berapa nilai harapan dari pelemparan sebuah dadu?

J: Nilai harapan dari pelemparan sebuah dadu adalah jumlah hasil yang mungkin terjadi dibagi dengan jumlah hasil: (1+2+3+4+5+6)/6=3,5.

T: Apa yang ditunjukkan oleh grafik dalam teks dalam kaitannya dengan hukum bilangan besar?

J: Grafik menunjukkan bahwa rata-rata lemparan dadu sangat bervariasi pada awalnya, tetapi seperti yang diprediksi oleh LLN, rata-rata menjadi stabil di sekitar nilai yang diharapkan yaitu 3,5 ketika jumlah pengamatan menjadi besar.

T: Bagaimana hukum bilangan besar berlaku untuk pelemparan dadu?

J: Hukum bilangan besar berlaku pada pelemparan dadu karena dengan bertambahnya jumlah lemparan, rata-rata lemparan akan semakin mendekati nilai harapan 3,5.

T: Mengapa hukum bilangan besar penting dalam statistik?

J: Hukum bilangan besar penting dalam statistik karena memberikan dasar teoretis untuk gagasan bahwa data cenderung memiliki rata-rata dari sejumlah besar pengamatan. Hukum ini menjadi dasar bagi banyak metode statistik, seperti interval kepercayaan dan pengujian hipotesis.