Fungsi Gamma

Dalam matematika, fungsi gamma (Γ(z)) adalah perluasan dari fungsi faktorial untuk semua bilangan kompleks kecuali bilangan bulat negatif. Untuk bilangan bulat positif, fungsi ini didefinisikan sebagai Γ ( n ) = ( n - 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)! } $\Gamma (n)=(n-1)!$

Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks. Tetapi tidak didefinisikan untuk bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian riilnya bukan bilangan bulat negatif, fungsi ini didefinisikan oleh:

Fungsi gamma di sepanjang bagian dari sumbu riil

Properti

Nilai-nilai tertentu

Beberapa nilai tertentu dari fungsi gamma adalah:

Γ ( - 3 / 2 ) = 4 3 π ≈ 2.363271801207 Γ ( - 1 / 2 ) = - 2 π ≈ - 3.544907701811 Γ ( 1 / 2 ) = π ≈ 1.772453850905 Γ ( 1 ) = 0 ! = 1 Γ ( 3 / 2 ) = 1 2 π ≈ 0.88622692545 Γ ( 2 ) = 1 ! = 1 Γ ( 5 / 2 ) = 3 4 π ≈ 1.32934038818 Γ ( 3 ) = 2 ! = 2 Γ ( 7 / 2 ) = 15 8 π ≈ 3.32335097045 Γ ( 4 ) = 3 ! = 6 {\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\\Gamma (2)&=1\\\\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\\end{array}}}} ${\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3.544907701811\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1.772453850905\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&\approx 0.88622692545\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&\approx 1.32934038818\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&\approx 3.32335097045\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}$

Fungsi Pi

Gauss memperkenalkan fungsi Pi. Ini adalah cara lain untuk menunjukkan fungsi gamma. Dalam hal fungsi gamma, fungsi Pi adalah

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e - t t z + 1 d t t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}}},} $\Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z+1}\,{\frac {{\rm {d}}t}{t}},$

sehingga

Π (n) = n! , {\displaystyle \Pi (n)=n!} $\Pi (n)=n!\,,$

untuk setiap bilangan bulat non-negatif n.

Aplikasi

Teori bilangan analitik

Fungsi gamma digunakan untuk mempelajari fungsi Riemann zeta. Sifat dari fungsi zeta Riemann adalah persamaan fungsionalnya:

Γ ( s 2 ) ζ ( s ) π - s / 2 = Γ ( 1 - s 2 ) ζ ( 1 - s ) π - ( 1 - s ) / 2 . {\displaystyle \Gamma \kiri({\frac {s}{2}}\kanan)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \kiri({\frac {1-s}{2}}}\kanan)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}. } $\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-s/2}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-(1-s)/2}.$

Bernhard Riemann menemukan hubungan antara kedua fungsi ini. Ini adalah dalam makalah tahun 1859 "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenenen Grösse" ("On the Number of Prime Numbers less than a Given Quantity")

ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z e t - 1 d t t . {\displaystyle \zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}}. } $\zeta (z)\;\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z}}{e^{t}-1}}\;{\frac {dt}{t}}.$

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan fungsi gamma dalam matematika?

J: Fungsi gamma adalah topik utama dalam bidang fungsi khusus dalam matematika.

T: Apa perluasan fungsi faktorial untuk semua bilangan kompleks kecuali bilangan bulat negatif?

J: Fungsi gamma adalah perluasan fungsi faktorial untuk semua bilangan kompleks kecuali bilangan bulat negatif.

T: Bagaimana fungsi gamma didefinisikan untuk bilangan bulat positif?

J: Untuk bilangan bulat positif, fungsi gamma didefinisikan sebagai Γ(n) = (n-1)!.

T: Apakah fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks?

J: Ya, fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks.

T: Apakah fungsi gamma didefinisikan untuk bilangan bulat negatif dan nol?

J: Tidak, fungsi gamma tidak didefinisikan untuk bilangan bulat negatif dan nol.

T: Bagaimana fungsi gamma didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bagian riilnya bukan bilangan bulat negatif?

J: Fungsi gamma didefinisikan untuk bilangan kompleks yang bagian riilnya bukan bilangan bulat negatif dengan rumus tertentu yang tidak diberikan dalam teks.

T: Mengapa fungsi gamma penting dalam matematika?

J: Fungsi gamma penting dalam matematika karena merupakan topik utama dalam bidang fungsi khusus dan memperluas fungsi faktorial ke semua bilangan kompleks kecuali bilangan bulat negatif.