Hipotesis kontinum
Hipotesis kontinum adalah hipotesis yang menyatakan bahwa tidak ada himpunan yang lebih besar dari bilangan asli dan lebih kecil dari bilangan real. Georg Cantor menyatakan hipotesis ini pada tahun 1877.
Ada banyak sekali bilangan asli yang tak terhingga, kardinalitas himpunan bilangan asli adalah tak terhingga. Ini juga berlaku untuk himpunan bilangan real, tetapi ada lebih banyak bilangan real daripada bilangan natural. Kita katakan bahwa bilangan asli memiliki kardinalitas tak terhingga dan bilangan real memiliki kardinalitas tak terhingga, tetapi kardinalitas bilangan real lebih besar daripada kardinalitas bilangan asli.
Hipotesis ini adalah masalah pertama dalam daftar 23 masalah yang diterbitkan David Hilbert pada tahun 1900. Kurt Gödel menunjukkan pada tahun 1939, bahwa hipotesis tersebut tidak dapat dipalsukan dengan menggunakan teori himpunan Zermelo-Fraenkel. Teori himpunan Zermelo-Fraenkel adalah teori himpunan yang biasa digunakan dalam matematika. Paul Cohen menunjukkan pada tahun 1960-an bahwa teori himpunan Zermelo-Fraenkel juga tidak dapat digunakan untuk membuktikan hipotesis kontinum. Untuk ini, Cohen dianugerahi Fields Medal.
Pertanyaan dan Jawaban
T: Apa yang dimaksud dengan hipotesis kontinum?
A: Hipotesis kontinum adalah hipotesis yang menyatakan bahwa tidak ada himpunan yang lebih besar daripada bilangan asli dan lebih kecil daripada bilangan asli.
T: Siapa yang menyatakan hipotesis kontinum dan kapan?
J: Georg Cantor menyatakan hipotesis kontinum pada tahun 1877.
T: Apakah ada bilangan asli yang tak terhingga banyaknya?
J: Ya, ada banyak bilangan asli yang tak terbatas.
T: Berapa kardinalitas dari himpunan bilangan asli?
A: Kardinalitas himpunan bilangan asli adalah tak terbatas.
T: Apakah ada lebih banyak bilangan asli daripada bilangan cacah?
J: Ya, ada lebih banyak bilangan asli daripada bilangan asli.
T: Dapatkah hipotesis kontinum dipalsukan dengan menggunakan teori himpunan Zermelo-Fraenkel?
J: Kurt Gödel menunjukkan pada tahun 1939 bahwa hipotesis tersebut tidak dapat dipalsukan menggunakan teori himpunan Zermelo-Fraenkel.
T: Siapa yang menunjukkan bahwa teori himpunan Zermelo-Fraenkel tidak dapat digunakan untuk membuktikan hipotesis kontinum?
J: Paul Cohen menunjukkan pada tahun 1960-an bahwa teori himpunan Zermelo-Fraenkel tidak dapat digunakan untuk membuktikan hipotesis kontinum.
