Pengukur logis

Pernyataan ini panjangnya tak terhingga:

1 - 2 = 1 + 1, dan 2 - 2 = 2 + 2, dan 3 - 2 = 3 + 3, ..., dan 100 - 2 = 100 + 100, dan ..., dst.

Ini adalah masalah untuk bahasa formal, karena pernyataan formal harus terbatas panjangnya. Masalah ini bisa dihindari dengan menggunakan kuantifikasi universal. Ini menghasilkan pernyataan ringkas berikut ini:

Untuk setiap bilangan asli n, n - 2 = n + n.

Dengan cara yang sama, kita bisa mempersingkat urutan pernyataan yang tak terhingga yang digabungkan dengan atau:

1 sama dengan 5 + 5, atau 2 sama dengan 5 + 5, atau 3 sama dengan 5 + 5, ..., ... , atau 100 sama dengan 5 + 5, atau ..., dst.

yang dapat ditulis ulang dengan menggunakan kuantifikasi eksistensial:

Untuk sekurang-kurangnya satu bilangan asli n, n sama dengan 5+5.

Dua kuantifier yang paling banyak digunakan adalah kuantifier universal dan kuantifier eksistensi.

Kuantifier universal digunakan untuk menyatakan bahwa untuk elemen-elemen dalam suatu himpunan, semua elemen cocok dengan beberapa kriteria. Biasanya, pernyataan "untuk semua elemen" ini disingkat menjadi "A" yang dibalik, yaitu "∀".

Pengkuantifier eksistensial digunakan untuk menyatakan bahwa untuk elemen dalam suatu himpunan, setidaknya ada satu elemen yang cocok dengan beberapa kriteria. Biasanya, pernyataan "ada elemen" ini disingkat menjadi "E" yang dibalik, yaitu "∃".

Kita dapat menulis ulang contoh pernyataan bahasa Inggris dengan simbol, predikat yang mewakili kriteria, dan quantifier. Contohnya adalah "Setiap teman Peter suka menari atau suka pergi ke pantai". Biarlah X adalah himpunan dari semua teman Peter. Biarlah P(x) adalah predikat "x suka menari". Biarlah Q(x) adalah predikat "x suka pergi ke pantai". Kita dapat menulis ulang contoh tersebut dengan menggunakan notasi formal sebagai ∀ x ∈ X , P ( x ) ∨ Q ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }X,P(x)\lor Q(x)} . Pernyataan tersebut dapat dibaca sebagai "untuk setiap x yang merupakan anggota X, P berlaku untuk x atau Q berlaku untuk x."

Ada cara lain untuk menggunakan quantifier dalam bahasa formal. Setiap pernyataan berikut di bawah ini mengatakan hal yang sama dengan ∃ x ∈ X , P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }X,P(x)} :

• ∃ x P {\displaystyle \exists {x}P}
• ( ∃ x ) P {\displaystyle (\exists {x})P}
• ( ∃ x . P ) {\displaystyle (\exists x\ .\ P)}
• ∃ x ⋅ P {\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}
• ( ∃ x : P ) {\displaystyle (\exists x:P)}
• ∃ x ∈ X P {\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}
• ∃ x : X P {\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}

Ada beberapa cara lagi untuk merepresentasikan universal quantifier:

• ( x ) P {\displaystyle (x)\,P}
• ⋀ x P {\displaystyle \bigwedge _{x}P}

Beberapa pernyataan di atas secara eksplisit menyertakan X, himpunan elemen-elemen yang berlaku bagi kuantifier. Himpunan elemen-elemen ini juga dikenal sebagai jangkauan kuantifikasi, atau semesta pembicaraan. Beberapa pernyataan di atas tidak menyertakan himpunan seperti itu. Dalam hal ini, himpunan harus ditentukan sebelum pernyataan. Misalnya, "x adalah apel" harus dinyatakan sebelum ∃ x P ( x ) {\displaystyle \exists {x}P(x)} . Dalam hal ini, kita membuat pernyataan bahwa paling sedikit satu buah apel sesuai dengan predikat P.

Menggunakan quantifiers secara formal tidak mengharuskan penggunaan simbol x. Simbol x telah digunakan di seluruh artikel ini, tetapi simbol apa pun dapat digunakan, seperti y. Pastikan untuk tidak merujuk ke dua hal yang berbeda dengan simbol yang sama saat memilih simbol.

Penting untuk menempatkan quantifier dalam urutan yang benar. Ini adalah contoh kalimat bahasa Inggris yang menunjukkan bagaimana makna berubah dengan urutan:

Untuk setiap bilangan asli n, terdapat bilangan asli s sedemikian sehingga s = n² .

Pernyataan ini benar. Ini menyatakan bahwa setiap bilangan asli memiliki kuadrat. Namun, jika kita membalik urutan kuantifier:

Terdapat bilangan asli s, sedemikian sehingga untuk setiap bilangan asli n, s = n² .

Pernyataan ini salah. Pernyataan ini menyatakan bahwa ada satu bilangan asli s yang merupakan kuadrat dari setiap bilangan asli.

Dalam keadaan tertentu, mengubah urutan kuantifier tidak mengubah makna pernyataan. Contohnya:

Terdapat sebuah bilangan asli x, dan terdapat sebuah bilangan asli y sedemikian sehingga x = y² .

Ada juga kuantifier yang kurang umum digunakan oleh matematikawan.

Contohnya adalah solution quantifier. Ini digunakan untuk menyatakan elemen mana yang menyelesaikan persamaan tertentu. Solution quantifier diwakili oleh § (tanda bagian). Sebagai contoh, pernyataan berikut menyatakan kuadrat dari 0, 1 dan 2 lebih kecil dari 4. : [ § n ∈ N n 2 ≤ 4 ] = { 0 , 1 , 2 }. {\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\left\{0,1,2\right\}}

Kuantifier lainnya adalah:

• Ada banyak elemen yang...
• Ada beberapa elemen yang...
• Ada banyak elemen yang tak terhingga banyaknya sehingga...
• Untuk semua elemen kecuali yang berhingga banyak... (kadang-kadang dinyatakan sebagai "untuk hampir semua elemen...").
• Ada banyak elemen yang tak terhitung banyaknya sehingga...
• Untuk semua elemen kecuali countably many...

Istilah logika dikembangkan oleh Aristoteles. Itu adalah bentuk awal dari logika, dan termasuk kuantifikasi. Penggunaan kuantifikasi lebih dekat dengan bahasa alami. Ini berarti bahwa pernyataan dalam logika istilah dengan kuantifier kurang cocok untuk analisis formal. Logika istilah termasuk kuantifier untuk Semua, Beberapa dan Tidak (tidak ada) pada abad ke-4 SM.

Pada tahun 1879, Gottlob Frege menciptakan notasi untuk kuantifikasi universal. Tidak seperti hari ini, dia akan mewakili kuantifikasi universal dengan menulis variabel di atas lesung pipit dalam garis lurus. Frege tidak menciptakan notasi untuk kuantifikasi eksistensial. Sebaliknya, ia menggabungkan kuantifikasi universal dan sejumlah negasi untuk membuat pernyataan yang setara. Penggunaan kuantifikasi Frege tidak dikenal secara luas sampai Bertrand Russell's 1903 Principles of Mathematics.

Pada tahun 1885, Charles Sanders Peirce dan muridnya Oscar Howard Mitchell juga menciptakan notasi untuk kuantifier universal dan eksistensial. Mereka menulis Π_x dan Σ_x dimana kita sekarang menulis ∀x dan ∃x. Notasi Pierce digunakan oleh banyak matematikawan hingga tahun 1950-an.

Pada tahun 1897, William Ernest Johnson dan Giuseppe Peano menciptakan notasi lain untuk kuantifikasi universal dan eksistensial. Mereka dipengaruhi oleh notasi kuantifikasi Pierce sebelumnya. Johnson dan Peano menggunakan simple (x) untuk kuantifikasi universal, dan ∃x untuk kuantifikasi eksistensial. Pengaruh Peano pada matematika menyebarkan notasi ini ke seluruh Eropa.

Pada tahun 1935, Gerhard Gentzen menciptakan simbol ∀ untuk kuantifikasi universal. Simbol ini tidak digunakan secara luas sampai tahun 1960-an.

• Logika