Eliminasi Gaussian

Dalam matematika, eliminasi Gaussian (juga disebut reduksi baris) adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini dinamai Carl Friedrich Gauss, seorang matematikawan Jerman terkenal yang menulis tentang metode ini, tetapi tidak menemukannya.

Untuk melakukan eliminasi Gaussian, koefisien-koefisien dari suku-suku dalam sistem persamaan linear digunakan untuk membuat jenis matriks yang disebut matriks augmented. Kemudian, operasi baris elementer digunakan untuk menyederhanakan matriks. Tiga jenis operasi baris yang digunakan adalah:

Tipe 1: Mengalihkan satu baris dengan baris lainnya.

Jenis 2: Mengalikan baris dengan angka bukan nol.

Jenis 3: Menambahkan atau mengurangi baris dari baris lain.

Tujuan dari eliminasi Gaussian adalah untuk mendapatkan matriks dalam bentuk eselon-baris. Jika sebuah matriks dalam bentuk eselon-baris, itu berarti bahwa membaca dari kiri ke kanan, setiap baris akan dimulai dengan setidaknya satu suku nol lebih banyak daripada baris di atasnya. Beberapa definisi eliminasi Gaussian mengatakan bahwa hasil matriks harus dalam bentuk eselon-baris tereduksi. Itu berarti bahwa matriks dalam bentuk eselon-baris tereduksi dan satu-satunya suku bukan-nol di setiap baris adalah 1. Eliminasi Gaussian yang menghasilkan hasil matriks eselon-baris tereduksi kadang-kadang disebut eliminasi Gauss-Jordan.

Contoh

Misalkan tujuannya adalah untuk menemukan jawaban dari sistem persamaan linear ini.

2 x + y - z = 8 ( R 1 ) - 3 x - y + 2 z = - 11 ( R 2 ) - 2 x + y + 2 z = - 3 ( R 3 ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (R_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (R_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (R_{3})\end{alignedat}}$

Pertama, sistem perlu diubah menjadi matriks augmented. Dalam matriks augmented, setiap persamaan linear menjadi sebuah baris. Di satu sisi matriks augmented, koefisien dari setiap suku dalam persamaan linear menjadi angka-angka dalam matriks. Di sisi lain dari matriks augmented adalah suku-suku konstan yang sama dengan setiap persamaan linear. Untuk sistem ini, matriks augmented adalah:

[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$

Kemudian, operasi baris dapat dilakukan pada matriks augmented untuk menyederhanakannya. Tabel di bawah ini menunjukkan proses reduksi baris pada sistem persamaan dan pada matriks augmented.

Sistem persamaan	Operasi baris	Matriks yang ditambah
2 x + y - z = 8 - 3 x - y + 2 z = - 11 - 2 x + y + 2 z = - 3 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&\;-\;&&z&&&&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&& \;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		[ 2 1 - 1 8 - 3 - 1 2 - 11 - 2 1 2 - 3 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\-3&-1&2&-11\-2&1&2&-3\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 2 y + z = 5 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	R 2 + 3 2 R 1 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {3}{2}}R_{1}\rightarrow R_{2}$ R 3 + R 1 → R 3 {\displaystyle R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+R_{1}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 / 2 1 0 2 1 5 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&2&1&5\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
2 x + y - z = 8 1 2 y + 1 2 z = 1 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;& &\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 3 + - 4 R 2 → R 3 {\displaystyle R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}} $R_{3}+-4R_{2}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 - 1 8 0 1 / 2 1 / 2 1 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\0&1/2&1/2&1\0&0&-1&1\end{array}}}} } $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$

Matriks sekarang dalam bentuk baris-eselon. Ini juga disebut bentuk segitiga.

Sistem persamaan	Operasi baris	Matriks yang ditambah
2 x + y = 7 1 2 y = 3 / 2 - z = 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	R 2 + 1 2 R 3 → R 2 {\displaystyle R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}} $R_{2}+{\frac {1}{2}}R_{3}\rightarrow R_{2}$ R 1 - R 3 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{3}\rightarrow R_{1}$	[ 2 1 0 7 0 1 / 2 0 3 / 2 0 0 - 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
2 x + y = 7 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	2 R 2 → R 2 {\displaystyle 2R_{2}\rightarrow R_{2}} $2R_{2}\rightarrow R_{2}$ - R 3 → R 3 {\displaystyle -R_{3}\rightarrow R_{3}} $-R_{3}\rightarrow R_{3}$	[ 2 1 0 7 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\0&1&0&3\0&0&1&1&-1\end{array}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
x = 2 y = 3 z = - 1 {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&& y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}} ${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	R 1 - R 2 → R 1 {\displaystyle R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}} $R_{1}-R_{2}\rightarrow R_{1}$ 1 2 R 1 → R 1 {\displaystyle {\frac {1}{{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}} ${\frac {1}{2}}R_{1}\rightarrow R_{1}$	[ 1 0 0 2 0 1 0 3 0 0 0 1 - 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&0&2\\0&1&0&3\0&0&1&1&-1\end{array}}}\right]} $\left[{\begin{array}{ccc\|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Matriks ini sekarang dalam bentuk eselon baris tereduksi. Membaca matriks ini memberitahu kita bahwa solusi untuk sistem persamaan ini terjadi ketika x = 2, y = 3, dan z = -1.

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan eliminasi Gaussian?

J: Eliminasi Gaussian adalah metode yang digunakan dalam matematika untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

T: Dinamai dari siapa metode ini?

J: Dinamai dari Carl Friedrich Gauss, seorang ahli matematika terkenal dari Jerman yang menulis tentang metode ini, tetapi tidak menciptakannya.

T: Bagaimana eliminasi Gaussian dilakukan?

J: Eliminasi Gaussian dilakukan dengan menggunakan koefisien suku-suku dalam sistem persamaan linear untuk membuat matriks augmented. Kemudian, operasi baris elementer digunakan untuk menyederhanakan matriks.

T: Apa saja tiga jenis operasi baris yang digunakan dalam eliminasi Gaussian?

J: Tiga jenis operasi baris yang digunakan dalam eliminasi Gaussian adalah: Mengganti satu baris dengan baris lainnya, Mengalikan baris dengan angka bukan nol, dan Menambah atau mengurangi baris dari baris lainnya.

T: Apa tujuan dari eliminasi Gaussian?

J: Tujuan eliminasi Gaussian adalah untuk mendapatkan matriks dalam bentuk eselon-baris.

T: Apa yang dimaksud dengan bentuk eselon-baris?

A: Jika sebuah matriks dalam bentuk eselon-baris, itu berarti bahwa membaca dari kiri ke kanan, setiap baris akan dimulai dengan setidaknya satu suku nol lebih banyak daripada baris di atasnya.

T: Apa yang dimaksud dengan bentuk eselon-baris tereduksi?

A: Bentuk eselon baris tereduksi berarti matriks dalam bentuk eselon baris dan satu-satunya suku bukan nol di setiap baris adalah 1. Eliminasi Gaussian yang menghasilkan hasil matriks eselon baris tereduksi terkadang disebut eliminasi Gauss-Jordan.