Bilangan Fermat

Pengarang: Leandro Alegsa

18-05-2022

Bilangan Fermat adalah bilangan positif khusus. Bilangan Fermat dinamai Pierre de Fermat. Rumus yang menghasilkannya adalah

F n = 2 2 n + 1 {\displaystyle F_{n}=2^{2^{{\overset {n}{}}}}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

di mana n adalah bilangan bulat nonnegatif. Sembilan bilangan Fermat pertama adalah (urutan A000215 dalam OEIS):

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F₈ = 2²⁵⁶ + 1 = 11579208923731619542357098500868790785326998466564056403939457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Pada tahun 2007, hanya 12 bilangan Fermat pertama yang telah difaktorkan secara lengkap. (ditulis sebagai hasil kali bilangan-bilangan prima) Faktorisasi ini dapat ditemukan di Faktor-Faktor Prima Bilangan Fermat.

Jika 2ⁿ + 1 adalah bilangan prima, dan n > 0, maka dapat ditunjukkan bahwa n haruslah pangkat dua. Setiap bilangan prima dari bentuk 2ⁿ + 1 adalah bilangan Fermat, dan bilangan prima seperti itu disebut bilangan prima Fermat. Satu-satunya bilangan prima Fermat yang diketahui adalah F₀ ,...,F₄ .

Hal-hal menarik tentang bilangan Fermat

Tidak ada dua bilangan Fermat yang memiliki pembagi yang sama.
Bilangan Fermat dapat dihitung secara rekursif: Untuk mendapatkan bilangan ke-N, kalikan semua bilangan Fermat sebelumnya, dan tambahkan dua pada hasilnya.

Untuk apa mereka digunakan

Saat ini, bilangan Fermat dapat digunakan untuk menghasilkan bilangan acak, antara 0 dan beberapa nilai N, yang merupakan pangkat 2.

Dugaan Fermat

Fermat, ketika dia mempelajari angka-angka ini, menduga bahwa semua bilangan Fermat adalah prima. Hal ini dibuktikan salah oleh Leonhard Euler, yang memfaktorkan F 5 {\displaystyle F_{5}} $F_{5}$ pada tahun 1732.

Pertanyaan dan Jawaban

T: Apa yang dimaksud dengan bilangan Fermat?

J: Bilangan Fermat adalah bilangan positif khusus yang dinamai Pierre de Fermat. Ini dihasilkan oleh rumus F_n = 2^2^(n) + 1, di mana n adalah bilangan bulat nonnegatif.

T: Berapa banyak bilangan Fermat yang ada?

J: Pada tahun 2007, hanya 12 bilangan Fermat pertama yang telah difaktorkan sepenuhnya.

T: Apa saja sembilan bilangan Fermat pertama?

A: Sembilan bilangan Fermat pertama adalah F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (59649589127497217 × 5704689200685129054721), dan F8 = 1157920892373161954235709850086879078532699699846656405640393945757584007913129639937 (123892636361552897 × 9346163939715357977769163558199606896584051237541638188580280321).

T: Apa yang bisa dikatakan mengenai bilangan prima dari bentuk 2n + 1?

J: Jika 2n + 1 adalah bilangan prima dan n > 0, maka dapat ditunjukkan bahwa n haruslah pangkat dua. Setiap bilangan prima dari bentuk 2n + 1 juga merupakan bilangan Fermat dan bilangan prima seperti itu disebut bilangan prima Fermat. Satu-satunya bilangan prima Fermat yang diketahui adalah dari 0 sampai 4.

T: Di mana seseorang dapat menemukan faktorisasi untuk semua 12 bilangan Fermat terfaktor yang diketahui?

J: Faktorisasi untuk semua 12 bilangan Fermat terfaktor yang diketahui dapat ditemukan di Faktor Prima Bilangan Fermat.

T: Siapa Pierre de Fermaat?

J: Pierre de Fermaat adalah seorang matematikawan Perancis berpengaruh yang hidup pada abad ke-17 dan yang karyanya banyak meletakkan dasar bagi matematika modern. Dia terkenal karena kontribusinya pada teori probabilitas dan geometri analitik serta Teorema Terakhirnya yang terkenal yang tetap tidak terpecahkan sampai tahun 1995 ketika akhirnya dibuktikan oleh Andrew Wiles menggunakan metode dari geometri aljabar.