Hukum gas gabungan

Hukum Boyle menyatakan bahwa produk tekanan-volume adalah konstan:

P V = k 1 ( 1 ) {\displaystyle PV = k_{1}\qquad (1)}

Hukum Charles menunjukkan bahwa volume sebanding dengan suhu absolut:

V T = k 2 ( 2 ) {\displaystyle {\frac {V}{T}}=k_{2}\qquad (2)}

Hukum Gay-Lussac mengatakan bahwa tekanan sebanding dengan suhu absolut:

P = k 3 T ( 3 ) {\displaystyle P = k_{3}T\qquad (3)}

di mana P adalah tekanan, V adalah volume dan T adalah suhu absolut dari gas ideal.

Dengan menggabungkan (1) dan salah satu dari (2) atau (3), kita bisa mendapatkan persamaan baru dengan P, V dan T. Jika kita membagi persamaan (1) dengan temperatur dan mengalikan persamaan (2) dengan tekanan, kita akan mendapatkan:

P V T = k 1 ( T ) T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\frac {k_{1}(T)}{T}}}}

P V T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{2}(P)P} .

Karena sisi kiri dari kedua persamaan adalah sama, kita sampai pada

k 1 ( T ) T = k 2 ( P ) P {\displaystyle {\frac {k_{1}(T)}{T}}=k_{2}(P)P} ,

yang berarti bahwa

P V T = konstanta {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\textrm {constant}}} .

Dengan mensubstitusikan Hukum Avogadro, akan menghasilkan persamaan gas ideal.

Turunan dari hukum gas gabungan yang hanya menggunakan aljabar dasar bisa mengandung kejutan. Misalnya, mulai dari tiga hukum empiris

P = k V T {\displaystyle P=k_{V}\,T\,\! }           (1) Hukum Gay-Lussac, volume diasumsikan konstan

V = k P T {\displaystyle V=k_{P}T\,\! }           (2) Hukum Charles, tekanan dianggap konstan

P V = k T {\displaystyle PV=k_{T}\,\! }           (3) Hukum Boyle, suhu diasumsikan konstan

di mana k_V , k_P , dan k_T adalah konstanta-konstanta, seseorang dapat mengalikan ketiganya bersama-sama untuk memperoleh

P V P V = k V T k P T k T {\displaystyle PVPV=k_{V}Tk_{P}Tk_{T}\,\! }

Mengambil akar kuadrat dari kedua sisi dan membagi dengan T tampaknya menghasilkan hasil yang diinginkan

P V T = k P k V k T {\displaystyle {\frac {PV}{T}}={\sqrt {k_{P}k_{V}k_{T}}}}\,\! }

Namun demikian, jika sebelum menerapkan prosedur di atas, seseorang hanya mengatur ulang istilah-istilah dalam Hukum Boyle, k_T = PV, maka setelah membatalkan dan mengatur ulang, orang akan memperoleh

k T k V k P = T 2 {\displaystyle {\frac {k_{T}}{k_{V}k_{P}}}}=T^{2}}\,\! }

yang tidak terlalu membantu jika tidak menyesatkan.

Turunan fisika, yang lebih panjang tetapi lebih dapat diandalkan, dimulai dengan menyadari bahwa parameter volume konstan dalam hukum Gay-Lussac akan berubah seiring dengan perubahan volume sistem. Pada volume konstan, V₁ hukum mungkin muncul P = k₁ T, sementara pada volume konstan V₂ mungkin muncul P = k₂ T. Menunjukkan "volume konstan variabel" ini dengan k_V (V), tulis ulang hukum sebagai

P = k V ( V ) T {\displaystyle P=k_{V}(V)\,T\,\! }           (4)

Pertimbangan yang sama berlaku untuk konstanta dalam hukum Charles, yang dapat ditulis ulang

V = k P ( P ) T {\displaystyle V=k_{P}(P)\,T\,\! }           (5)

Dalam mencari k_V (V), seseorang tidak boleh tanpa berpikir menghilangkan T di antara (4) dan (5), karena P bervariasi dalam persamaan yang pertama, sementara diasumsikan konstan dalam persamaan yang kedua. Sebaliknya, pertama-tama harus ditentukan dalam arti apa persamaan-persamaan ini kompatibel satu sama lain. Untuk mendapatkan wawasan mengenai hal ini, ingatlah bahwa dua variabel menentukan variabel ketiga. Dengan memilih P dan V sebagai independen, kita gambarkan nilai-nilai T yang membentuk suatu permukaan di atas bidang PV. V₀ dan P₀ mendefinisikan sebuah T₀ , sebuah titik pada permukaan itu. Mensubstitusikan nilai-nilai ini dalam (4) dan (5), dan menyusun ulang menghasilkan

T 0 = P 0 k V ( V 0 ) a n d T 0 = V 0 k P ( P 0 ) {\displaystyle T_{0}={\frac {P_{0}}{k_{V}(V_{0})}}\quad dan\quad T_{0}={\frac {V_{0}}{k_{P}(P_{0})}}}}

Karena keduanya menggambarkan apa yang terjadi pada titik yang sama di permukaan, kedua ekspresi numerik bisa disamakan dan disusun ulang

k V ( V 0 ) k P ( P 0 ) = P 0 V 0 {\displaystyle {\frac {k_{V}(V_{0})}{k_{P}(P_{0})}}={\frac {P_{0}}{V_{0}}}}\,\! }           (6)

Perhatikan bahwa 1/k_V (V₀ ) dan 1/k_P (P₀ ) adalah kemiringan garis-garis ortogonal yang sejajar dengan sumbu-P/sumbu-V dan melalui titik itu pada permukaan di atas bidang PV. Rasio kemiringan kedua garis ini hanya bergantung pada nilai P₀ /V₀ pada titik itu.

Perhatikan bahwa bentuk fungsional dari (6) tidak bergantung pada titik tertentu yang dipilih. Rumus yang sama akan muncul untuk kombinasi lain dari nilai P dan V. Oleh karena itu, seseorang bisa menulis

k V ( V ) k P ( P ) = P V ∀ P , ∀ V {\displaystyle {\frac {k_{V}(V)}{k_{P}(P)}}={\frac {P}{{V}}}\quad \untuk semua P,\untuk semua V} (7)

Ini mengatakan bahwa setiap titik pada permukaan memiliki sepasang garis ortogonal sendiri yang melaluinya, dengan rasio kemiringannya hanya bergantung pada titik itu. Sedangkan (6) adalah relasi antara kemiringan spesifik dan nilai variabel, (7) adalah relasi antara fungsi kemiringan dan variabel fungsi. Hal ini berlaku untuk setiap titik pada permukaan, yaitu untuk setiap dan semua kombinasi nilai P dan V. Untuk menyelesaikan persamaan ini untuk fungsi k_V (V), pertama-tama pisahkan variabel-variabelnya, V di sebelah kiri dan P di sebelah kanan.

V k V ( V ) = P k P ( P ) {\displaystyle V\,k_{V}(V)=P\,k_{P}(P)}

Pilih sembarang tekanan P₁ . Sisi kanan dievaluasi ke beberapa nilai sembarang, sebut saja k_arb .

V k V ( V ) = k arb {\displaystyle V\,k_{V}(V)=k_{\text{arb}}\,\! }           (8)

Persamaan khusus ini sekarang harus berlaku benar, bukan hanya untuk satu nilai V, tetapi untuk semua nilai V. Satu-satunya definisi k_V (V) yang menjamin hal ini untuk semua V dan sembarang k_arb adalah

k V ( V ) = k arb V {\displaystyle k_{V}(V)={\frac {k_{\text{arb}}}}{V}}}} (9)

yang dapat diverifikasi dengan substitusi dalam (8).

Akhirnya, mensubstitusikan (9) ke dalam hukum Gay-Lussac (4) dan mengatur ulang menghasilkan hukum gas gabungan

P V T = k arb {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k_{\text{arb}}\,\! }

Perhatikan bahwa meskipun hukum Boyle tidak digunakan dalam derivasi ini, namun dengan mudah disimpulkan dari hasilnya. Umumnya, dua dari tiga hukum awal adalah semua yang diperlukan dalam jenis derivasi ini - semua pasangan awal mengarah ke hukum gas gabungan yang sama.

Hukum gas gabungan dapat digunakan untuk menjelaskan mekanika di mana tekanan, suhu, dan volume dipengaruhi. Misalnya: AC, lemari es dan pembentukan awan dan juga digunakan dalam mekanika fluida dan termodinamika.

• Hukum Dalton